Задачи....

Lothar · Начинаещ Регистриран на: 05 Jul 2007 Мнения: 19

Малко кофти се пише и нямам много време, но като за начало за загрявка

В остроъгълен АВС, АС= b u BC=a (a>b), a височината AD и BE имат съответно дължини h_a u h_b. Точка К принадлежи на ВЕ, като ВК = h_b - h_a. През К е прекаран перпендикуляр към ВЕ, който пресича ВС в точка Р.

Да се докаже, ъглите APC и АРК са равни.

Задачката е доста лесна, но е подходяща примерно като за 9та задача за СУ ...

Реклама

Lothar · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 11:46 am Заглавие:

Тази може би е интересна (не съм я пробвал):

Дадена е редицата 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ....

Да се докаже, че |a_n² - a_n-1a_n+1|=1

Lothar · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 11:54 am Заглавие:

Тази също ми я дадоха, но като гледам и на нея не съм обърнал внимание:

Ако a,b u c са числа не по-малки от 2; Да се докаже неравенството:

log_b+ca² + log_c+ab² + log_a+bc² >= 3

Айде за сега тези ...

Fed · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 12:48 pm Заглавие:

2 зад.

Само не ме питайте как се извежда общата ф-ла за редицата на Фибоначи.

Lothar · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 1:04 pm Заглавие:

И аз забелязах, че е Фибоначи, ама не знаех за тая формула ...

Дали има друг начин, или пък трябва да се знае формулата?

Сега ще я помъча малко и аз ...

Fed · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 1:11 pm Заглавие:

Сигурно може и чрез индукция по някакъв начин, не знам. А за формулата - извеждането й е много сложно, поне по начина който знам аз, може и нещо по-лесно да има...

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 1:31 pm Заглавие:

На трета до отговор го докарвам, ама аргументите ми малко куцат... Ще я помисля още малко...

bat_zlat · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 1:36 pm Заглавие:

Решение на задачата на Lothar(само че сами си начертайте триъгълник, че нямам време в момента):[tex] \Delta BEC \approx \Delta ADC (\angle BEC=\angle ADC=90^\circ ; \angle ACB[/tex] общ), следва,че [tex] \frac{AD}{BE }=\frac{AC}{BC }[/tex] <=> [tex]\frac{ha}{hb }=\frac{a}{b }[/tex], от където изразяваме [tex] ha=\frac{b.hb}{a }[/tex]. Oт hb-ha=BK =>BK=hb-[tex] ha=\frac{b.hb}{a }[/tex]=[tex]\frac{hb.(a-b)}{a}[/tex]. [tex]\Delta BEC \approx \Delta BKP(\angle BKP=\angle BEC=90^\circ ;\angle CBE[/tex]общ)=>[tex]\frac{BK}{BE }=\frac{BP}{BC }[/tex]. Заместваме BK, BC=a и BE=hb => BP=a-b=>CP=b=>[tex]\Delta APC[/tex] - равнобедрен [tex]=> \angle PAC= \angle APC [/tex].Но [tex]\angle PAC=\angle APK(CA\bot BE, PK\bot BE=>(PK||AC)\cap AP) => \angle APC=\angle APK[/tex]

imho · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 5:02 pm Заглавие:

За задачата с редицата на Фибоначи (по индукция):

a_n+1=a_n + a_n-1
|a_n² - a_n+1 . a_n-1|=|a_n² - (a_n + a_n-1) . a_n-1|=|a_n . (a_n - a_n-1)-a_n-1²|=|a_n-1² - a_n . a_n-2|=...=|a₂² - a₃ . a₁|=|1-2.1|=1

▲

Fed · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:15 pm Заглавие:

uktc, я кажи каква идея имаш за 3 зад.

Lothar · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:20 pm Заглавие:

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:36 pm Заглавие:

log_b+ca² + log_c+ab² + log_a+bc² >= 3
2log_b+ca+2log_c+ab+2log_a+bc≥3
log_b+ca+log_c+ab+log_a+bc≥3/2
И от тук за първото събираемо казвам: "Нека b+c е фиксирано Very Happy

. Тъй като b+c>1, то log_b+ca ще постигне min когато a е минимално, т.е. a=2". И така аналогично и за другите, казвам че a, b и c трябва да са равни на 2, за да се постигне минимална стойност на сумата от логаритмите. Тогава log_b+ca+log_c+ab+log_a+bc добива вида
log₄2+log₄2+log₄2=3log₄2=3/2, което трябваше и да докажем.
Ама аргументацията ми е една...

Lothar · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:42 pm Заглавие:

Fed · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:48 pm Заглавие:

Съмнително изглежда...

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:49 pm Заглавие:

Толкова съмнително, че чак грешно!!! Laughing

Лотар, по неравенството на Коши, ако t е положително, имаме [tex]t+\frac{1}{t}\ge 2 \sqrt{t \frac{1}{t}}=2[/tex], само че не виждам това къде ще свърши работа...

Fed · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:51 pm Заглавие:

Е, може би има нещо вярно вътре... Laughing

Lothar · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 9:59 pm Заглавие:

uktc · Пуснато на: Sat Jul 21, 2007 10:11 pm Заглавие:

Ако кажеш и как го докарваш до там...

being_ill · Пуснато на: Sun Sep 02, 2007 1:55 pm Заглавие:

Grands · Пуснато на: Sun Sep 02, 2007 2:20 pm Заглавие:

Fed · Пуснато на: Tue Sep 04, 2007 12:42 am Заглавие:

Ами много не ми се иска, защото е доста дълго това което имам.
А то всъщност е съчетание от решенията на няколко задачи...
Наистина ще ми бъде доста трудно да го съчетая и напиша...