урок мултипликативни функции 2

[krassi_holmz]

Това е продължение от първия урок:
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=1913


Урок 2 - Конвулюция - малко по-дълбок поглед.

От теоретическо значение е интересно да се изследва поведението и вида на функции, дефинирани чрез други, посредством връзкaта:
(2.1)[tex]g(x)=\sum_{m|n}f(m)=\sum_{m|n}f(m).U(n/m) = f*U=U*f[/tex]
Заради свойствата на така дефинираните функции, ще си позволим малко по-различна нотация за тях:
Дефиниция 2.1. Нека [tex]\mathbb{U}f = f*U[/tex]
Сега следват малко лични наблюдения, които се оказват доста ползни на практика.
От твърдение 2 следва, че важните, определящи стойности за една мултипликативна функция са стойностите й, които тя приема за степен на просто число, т.е. p^i. Както вече отбелязах, [tex]\phi(p^h)=p^h-p^{h-1}[/tex]. Тези изрази са по-прости от изразите в общия случай, следователно ще допускат по-лесна обработка. От друга страна второто наблюдение, което дава основание за изследване на мултипликативните функции в този частен случай е, че повечето своъства се "предават" от простите изрази когато аргументът е степен на просто число, на общия случай. Следва втора стъпка - на всяка мултипликаивна функция съпоставяме двуаргументна функция по следния начин:
[tex]f[p,0]:=1;[/tex]
[tex]f[p,i]:=f(p^i), p\in P, i \in N[/tex]
Такава функция ще наричаме характерна за f.
Ясно е, че всяка мултипликативна функция определя точно една двуаргументна функция PxN и обратно.
Сега следва кулминацията - а как се променят
характерните функции при конвулюция на Дирихле?
Понеже вече става дума само за степени на прости числа, нещата значително се опростяват, като се стига до обикновени суми.
Имаме:
[tex](\mathbb{U}f)[p,i]=\mathbb{U}f(p^i)=\sum_{m|p^i}f(m)=\sum_{l=0}^i f(p^l)=\sum_{l=0}^i f[p,l][/tex]
Така получаваме следната много удобна формула:
[tex](\mathbb{U}f)[p,i]=\sum_{l=0}^i f[p,l][/tex]
Това означава, че действието на оператора U се свежда до събиране на стойностите на функцията за по-ниски степени.
Сега, за де разберете по-добре този апарат, ви давам един пример:
Нека докажем първата от двете интересни суми, която дадох в първия урок, а именно:
[tex]\sum_{m|n}\phi(m) = n[/tex]
С риск да стана банален, ще потретя, че за функцията на Ойлер имаме [tex]\phi(p^h)=p^h-p^{h-1}[/tex]. Това автоматично означава:
[tex]\phi[p,i]=p^i-p^{i-1}[/tex]
Сумата от лявата страна на равенството е точно [tex]\mathbb{U}\phi[/tex], и от новата формула получаваме:
[tex](\mathbb{U}\phi)[p,i]=1+\sum_{l=1}^i p^l-p^{l-1}[/tex]
И заради биекцията, единствената функция [tex]f(p^i)=p^i[/tex], е идентитетът, т.е. f(x)=x.
---
Понеже мултипликативните функции снабдени с конвулюция на Дирихле, имат структура на група, логично е да предполагаме, че всеки елемент (без N разбира се) има обратен, т.е. за всяка мултипликативна функция [tex]f[/tex] има еднозначно определена [tex]f^{-1}[/tex], такава че [tex]f*f^{-1}=I[/tex]. И действително е така - конструирането им е праволинейно:
Твърдение: Нека [tex]f[/tex] е мултипликативна функция, различна от N. Тогава:
1. [tex]f^{-1}(1)=1[/tex]
и
2. [tex]f^{-1}(n)=-\sum_{m|n}f(m)f^{-1}(n/m)[/tex]
---

Това беше едно необходимо допълнение на първия урок с цел по-пълно разбиране на конвулюцията. В следващия урок ще се отклоня малко към обикновените генериращи функции.

[Реклама]