основни граници, доказателства

[Infernum]

Докажете, че
[tex]\lim_{x \to 0}\frac{sin x}{x}=1[/tex]

[Реклама]

[МАШИНАТА]

Какво има да се доказва? По Лопитал и аре.
(sinx)' = cosx
x' = 1
cos0 = 1 и 1/1=1
Още нещо?

[Infernum]

Е, по Лопитал.....
Тука малко хора знаят за правилото на Лопитал.
А я го докажи него щом го използваш??

[МАШИНАТА]

[Infernum]

Е, ти го напиши, пък после ще се блещим

[Relinquishmentor]

А как ще докажете, че lim (1 + 1/n)ⁿ = e ?

[Infernum]

По принцип това е дефиницията за неперовото число.
То се дефинира като граница на посочената числова редица.
Има едно аналитично доказателство, осоваващо се на неравенството на Бернули и развитието на бинома на Нютон, което показва, че всички членове на числовата редица {(1+1/n)ⁿ} се намират в интервала [2, 3), но е дългичко и ме мързи да го пиша.
Иначе, ако си въведеш непекъснатата за х>0 реална функция f(x)=(1+1/x)^x
За границата и при х->безкрайност, може да се запише:
lim (1+1/x)^x=
x->inf
=lim e^xln(1+1/x) = е^{lim xln(1+1/x)}
x->inf
Пресмята се отделно:
lim xln(1+1/x)=
x->inf
=lim ln(1+1/x)/(1/x)=
x->inf
=lim [1/(1+1/x)](-1/x²)/(-1/x²)= 1
x->inf
В последното равенсвто се прилага правилото на Лопитал за неопределност от вида [0/0].
Тогава:
lim (1+1/x)^x=е¹
x->inf
Понеже числовата редица представлява една функция, дефинирана върху по-тясното множество на естествените числа, от множеството на реалните такива, то установеното равенство за въведената функция, показва че то е валидно и за числовата редица.

[vladob]

Следниот доказ мислам дека не е многу сложен а ја докажува конвергенцијата на низата
[tex](x_n), \ \ x_n=(1-\frac{1}{n})^n[/tex]
а воедно е дефиниција на бројот e.
Конвергенцијата ќе ја покажеме на тој начин што ќе покажеме дека низта е растечка и ограничена од горе. При ова ќе го користиме неравенството на Бернули кое лесно може да се докаже со индукција а кое гласи :
[tex] (1+x)^n > 1+nx[/tex]
Да забележиме дека:

[tex] (1- \frac {1}{n^2})^n > 1- n \frac {1}{n^2} = 1 - \frac {1}{n}[/tex]

[tex](1+\frac{1}{n})^n(1-\frac{1}{n})^n>1-\frac{1}{n}[/tex]

[tex](1+\frac{1}{n})^n>(1-\frac{1}{n})^{1-n}[/tex]

Од овде следува дека
[tex]x_n=(1+\frac{1}{n})^n>(1-\frac{1}{n})^n=(\frac{n}{n-1})^{n-1}=(1+\frac{1}{n-1})^{n-1}=x_{n-1}[/tex]
Значи низата е растечка.

Сега да ја разгледаме низата
[tex]y_n=(1+\frac{1}{n})^{n+1}=(\frac{n+1}{n})^{n+1}[/tex]

[tex] (\frac{n}{n+1})^n (\frac{n}{n-1})^n= (\frac{n^2}{n^2-1})^n=(1+\frac{1}{n^2-1})^n>1+n \frac{1}{n^2-1}>1+\frac{1}{n}=\frac{n+1}{n}[/tex]

Значи [tex] (\frac{n}{n-1})^n>(\frac{n+1}{n})^{n+1} \ => \ y_{n-1}>y_n[/tex]

Односно y₁ e најголем член во низата (y_n) и x_n<y₁ за секое n.
Од тоа што y₁=4 => (x_n) е ограничена од горе.
Конечно значи (x_n) конвергира и вредноста кон која конвергира ја дефинираме како број e.
Со земање на доволно големо n можеме да го пресметаме бројот e на онолку децимали колку ни е потребно.

[vladob]