Да се намерят стойностите на а и б за които..

[Irrefutable]

Задачата е от примерна тема за СУ:
Да се намерят стойностите на реалните параметри a и b, за които уравнението [tex]x^4 + x^3 + ax^2 + bx + b^2 = 0[/tex] , има четири различни реални корена, сумата от квадратите на които е равна на 1.
Не мога да я реша, стигам до някъде само.

[Реклама]

[Methuselah]

Очевидно а=0
За b нищо не измислям засега. Като се прибера пак ще я гледам.
а=0, защото от формулите на Виет (които се извеждат) следва че m+n+p+q=-1
Условието иска m²+n²+p²+q²=1
а=mn+mq+mp+nq+np+pq
(m+n+p+q)²=1+2a
1=1+2a
a=0

[Fed]

Аз откривам, че [tex]b \in \left( { - \frac{1}{4},0} \right)[/tex] и отговора трябва да е някъде вътре, но как се стига до него...

[zhivo_zad]

Стигам само до тук че а=0,за да е изпълнено условието и че условието не зависи от b.Броя на реалните корени зависи от b.А и формоли на виет за 4 –та степен трябва да се извеждат.

[Fed]

...

[DevilFighter]

Също така тази функция има 3ри лок. екстремума.- 2 лок.минимума и 1 лок. макс.,
1л.мин.(α) Е (-1;-1/2) ;
2л.мин.(γ) Е (0;1) ;
3л.макс(β) Е (-1/2;0) . (α<β<γ)

Функцията намалява в (-оо;α) U (β;γ) и расте в (α;β) У (γ;+оо)

Как ли ще докажем, че корените са 4 и ≠ .....

[Methuselah]

Аз пробвах пак някакви неща с Виет... нищо не стана.. пробвах да взема х като параметър и да гледам квадратната функция относно б ... пак нищо не стана.

[Fed]

Aз изписах ~ 10 листа с всякакви глупости - графики, производни, Виет, Коши, ..., но единствено измислям това което писах по-горе. Ще допълня че уравнението има 4 реални различни корена при b E (-1/8, 0), поне така смята Microsoft Math.

[soldier_vl]

f(x)=x^4+x^3+bx+b^2
f'(x)=4x^3+3x^2+b
g(x)=4x^3+3x^2
За да има уравнението 4 корена трябва ф'(х) да има 2 минимума и един максимум като произведението им трябва да е по-голямо от 0. Чартаем графиката на g(x) и виждаме при кои стойности b пресича гравиката на 3 места, тогава ф'(х)=0 има 3 корена. Но това не гарантира, че произведението на екстремумите по-голямо от 0.

[Methuselah]

Ето моята идея но нямам време да чертая и да смятам сега:
Имаме квадратно уравнение за б.
Изразяваме б1 и б2 чрез х.
Изчертаваме двете графики на б1 и б2 в координатна система (х;б)
Гледаме за коя стойност на б съществуват 4 различни х-а
УБЕДЕН съм че така ще стане Довечера като се прибера ще го начертая.

[uktc]

Имам идея!
Да видим дали ще стане
П.П.
Аааа, не става
До b E (-1/8;0) мога да го докарам, но първо че начина ми е хамалски и второ, че някои неща си ги приемам на доверие... По начина на Methu трябва да стане...

[uktc]

Ех, вижте колко интересен "възел" се получава, като нарисуваме графиките на [tex]b_1(x)&b_2(x)[/tex]



И от тук вече "очевидно" при [tex]b \in (-\frac{1}{8};0)[/tex], решенията са 4:



Обаче щом задачата е от кандидат-студентски изпит, значи трябва да има и по-човешко решение! Аз лично тези двете графики не мога да ги нарисувам...
П.П. Сега забелязах, че най-вдясно, където двете графики се съединяват, има някакво своеобразно "разстояние" между тях... Което идва да ни покаже, че в отговора на Microsoft Math май има нещо гнило...

[soldier_vl]

[Irrefutable]

Хм, явно трябва наисина да има нормално решение.
Задачата е от Тема 6 на ускорения курс на Чакърян и Хаджийски
Обаче човека, който ми даде темата не е бил е часа когато са я решавали...

[DevilFighter]

uktc, и аз го видях това възелче(без разстоянието в десния край), но дано се намери ум, който да роди нормално решение, което да бъде осъществимо без Graph и Microsoft Math.

И този интервал b E (-1/8; 0) не е целия като решение. Точно заради разстоянието се разпокъсва (може би). Тази задача е голяма лудница...

[uktc]

Може би разстоянието е бъг на Graph...
Задачата може би не е чак такава лудница, просто ние си я правим такава

[name01]

Не че нещо съм измислил, но чак такава тегавина не вярвам да е тая задача, може би има някакво тривиално решение, за което никой не се сеща преди да захване графиките и програмите.

[martin_bg]

Делим на x² ≠ 0
-> (x+b/x)² - 2b + x + b/x +a = 0
Нека x + b/x = t => t е от (-[tex]\infty[/tex] ; -2√b) [tex]\cup[/tex] (2 √b ; +[tex]\infty[/tex] ) (ДО за t)
=>t² + t -2b + a = 0 с t1 [tex]\in[/tex] (-[tex]\infty[/tex] ; -2√b) и t2 [tex]\in[/tex] (2 √b ; +[tex]\infty[/tex] )
От тук вече трябва да излезе нещо.

[uktc]

martin_bg, гениална идея, обаче как на отрицателното b ще му вземеш корена?

[omeganet]

[tex] x^4 + x^3 + bx + b^2 = 0|^2 \ne 0 \\ x^2 + x + \frac{b}{x} + \frac{{b^2 }}{{x^2 }} = 0 \\ x + \frac{b}{x} = t \uparrow ^2 \\ x^2 + \frac{{b^2 }}{{x^2 }} = t^2 - 2b \\ t^2 + t - 2b = 0 \\ D = 1 + 8b > 0 \Rightarrow b > - \frac{1}{8} \\ x^2 - tx + b = 0 \\ D = t^2 - 4b > 0 = > t^2 > 4b > - \frac{1}{2} - vqrno! \\ [/tex]

Решение: [tex]b \in \left( { - \frac{1}{8};0} \right)[/tex]

[uktc]

good, good
Такива задачи без "цаки" не стават...

[martin_bg]

[Irrefutable]

първото нещо което направих е да заместя с t = x + 1/x , само дето не можех да изведа че а=0 , а и също , когато намеря дискриминантата за квадратното уравнение за т , не можех да докажа че има 4 различни корена когато дискриминантата е по-голяма от нула.

Edit: Всъщнсот някой ще обясни ли как се извеждат от формулите на Виет че m+n+p+q=-1 , защото не мога да си го изведа. Непонятно ми е как да ги ползвам за уравнение от 4 степен.

[RYU]

zhivo_zad какво е тожа накрая (4p-kp)

[Methuselah]

[RYU]

x+b/x=t от каде доиде тва -2b

[Irrefutable]

[HeypaBHobeceH]

от (x-m)(x-n)(x-p)(x-q)=0
се получава:
x⁴ - (m+n+p+q)x³ + (mn+mp+mq+np+nq+pq)x² - (mnp+mpq+pqn+mnq)x + mnpq=0

или (1) m+n+p+q=-1
(2) mn+mp+mq+pq+np+nq=a
(3) mnp+mnq+npq+mpq=-b
(4)mnpq=b²
и даденото - (5) m²+n²+p²+q²=1

от (1) повдигнато на квадрат се получава ;
m²+n²+p²+q² +2mn+2mp+2mq+2np+2nq+2pq=1
прилагаме (5) и излиза 2(mn+mp+mq+np+nq+pq)=0 <=> 2a=0
=>a=0

остава да намерим b

умножаваме (1) със (2) и се получава:
m²(n+p+q)+n²(m+p+q)+p²(m+n+q)+q²(m+n+p) +2(mnp+mnq+mpq+npq)=-a

m²(n+p+q)+n²(m+p+q)+p²(m+n+q)+q²(m+n+p) -2b=0

заместваме q+n+p=-1-m (oт (1))
аналогично за n, p и q и получаваме :
-(m³+n³+p³+q³) - (m²+n²+p²+q²)=2b
и накрая след прилагане на (5) за пореден път стигаме до
(6) : 1-2b=m³+n³+p³+q³

(m+n+p+q)(m²+n²+p²+q² -(mn+mp+mq+np+nq+pq))=m³+n³+p³+q³ - 3(mnp+mnq+mpq+npq)
което е аналогично на :

(-1)(1-0)=1-2b+3b
b=-2

[omeganet]

При b=-2, x⁴+x³-2x+4>0 за всяко х

[HeypaBHobeceH]

еми живи здрави... поне решението е дълго