Задачи за СУ (математика 2)

[Dream_Works]

Предлагам ви следните задачи, като се надявам да са ви полезни за подготовката за Математика 2 в СУ. Аз така и не успях да ги реша самостоятелно, но не искам да ми ги решавате. Просто ги поствам за да си направите тренинг. Задачите са от една книжка с теми за СУ (И.Тонов Ч. Лозанов). Успех на всички на математика 2 и моля за извинение, ако някоя задача от тях е решавана във форума преди това.

[Реклама]

[soldier_vl]

интересна тема!!!

[Dream_Works]

Това не е тема, а просто няколко задачи от различни примерни теми.

[Fed]

Страхотни са задачите. Дано ги решим.

[teddy]

случайно на 1 б да се получава, че за всяко р уравнението има 4 реални корена???

[Dream_Works]

всяко р различно от нула

[DevilFighter]

Задачите са сериозни, но ще се заемем с тях...

[teddy]

[Fed]

Въпрос:

Сигурно ли е на 6 че ограниченията са с < и >, а не с ≤ и ≥.

Колко е отговора на 6а). Аз получих 2.

[zhivo_zad]

[soldier_vl]

[Dream_Works]

за 6 е сигурно за ограниченията. За отговор на 6 а) е посочено [tex]\frac{4}{1+p }[/tex]

[soldier_vl]

Е да толкова се получава. Ако 0≤п≤1 се получава 2 и така задачата щеше да е по-интересна

[Fed]

6а)

[tex]\begin{array}{l} \min \left( {\frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{p + x}}} \right) = ? \\ \frac{1}{{1 - x}} > 0,\frac{1}{{p + x}} > 0 \Rightarrow \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{p +x}} \ge 2\sqrt {\frac{1}{{1 - x}}.\frac{1}{{p + x}}} = 2\sqrt {\frac{1}{{ - x^2 + x(1 - p)+ p}}} \le 2\sqrt {\frac{1}{{ - \left( {\frac{{1 - p}}{2}} \right)^2 + \left( {\frac{{1 -p}}{2}} \right)(1 - p) + p}}} = \\ = 2\sqrt {\frac{4}{{(1 + p)^2 }}} = \frac{4}{{1 + p}} \\ \end{array}[/tex]

За б) предполагам подобно

[soldier_vl]

6 в) е много лесна поне решението, което аз направих, но е с извънучебен матерял и не знам дали биха ми го зачели.
Ето го решението:
От Хубавото неравенство следва:
[tex]\frac{( \sqrt{2})^2 }{ a+b} +\frac{( \sqrt{2})^2 }{ b+c} +\frac{( \sqrt{2})^2 }{ c+a}\ge \frac{(3 \sqrt{2})^2 }{ 2(a+b+c)}=\frac{9}{ a+b+c} [/tex]

[Fed]

Taka ли се казва наистина - Хубаво неравенство. И ако да - какво гласи в общия случай?

[Fed]

6 в)

[soldier_vl]

Ето ти го в общия случай:
[tex]\frac{a^2}{b}+\frac{c^2}{d}+....+\frac{n^2}{m}\ge \frac{(a+c+...+n)2}{b+d+...+m} [/tex]

То може би това, което ти правиш е да го изведеш, защото знам че се извежда чрез Коши.

[Fed]

Тей като го гледам точно с Коши се извежда. Постарах се така да реша 6в), че да го докажа.

[soldier_vl]

То има много неравенства, които се извеждат с Коши

[omeganet]

Защо на използвате на 6та задачата подточка а и б? Аз съм я решавал преди тая задача. Ето какво се прави на нея:

[tex] \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{p + x}} \ge \frac{4}{{1 + p}} \\ \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{p + x}} + \frac{1}{{1 - p}} \ge \frac{4}{{1 + p}} + \frac{1}{{1 - p}} \ge \frac{9}{2} \\ \frac{{a + b + c}}{{a + b}} + \frac{{a + b + c}}{{b + c}} + \frac{{a + b + c}}{{a + c}} \ge \frac{9}{2} \\ p = \frac{a}{{a + b + c}} \in (0;1) \\ x = \frac{b}{{a + b + c}} \in (0;1 - p) \\ \frac{1}{{1 - x}} = \frac{{a + b + c}}{{a + c}} \\ \frac{1}{{1 - p}} = \frac{{a + b + c}}{{b + c}} \\ \frac{1}{{x + p}} = \frac{{a + b + c}}{{a + b}} \\ [/tex]

[soldier_vl]

И твойто решение е интересно!!! Но е малко по дълго и изисква повече съобразителност, докато това с хубавото неравенство е на 2реда само че трябва да го знаеш. И двете решения си имат предимства

[omeganet]

Да, ама това неравенство мисля, че го няма в учебника и трябва да се доказва, ако се използва.

[soldier_vl]

[omeganet]

[soldier_vl]

Да де това имах предвид: проверяващия не квестора. То квесторите разбират толкова от математика колкото аз от китайски

[omeganet]

5. (много готина задача)
[tex] x^2 + 4\left( {p - \frac{{6q}}{p}} \right)x + 4q = 0 \\ D < 0 \\ D = p^2 - 12q + \frac{{36q^2 }}{{p^2 }} - q = \frac{{36}}{{p^2 }}q^2 - 13q + p^2 = \frac{{36}}{{p^2 }}\left( {q - \frac{{p^2 }}{9}} \right)\left( {q - \frac{{p^2 }}{4}} \right) \\ \frac{{p^2 }}{9} < q < \frac{{p^2 }}{4} \Rightarrow p^2 - 4q > 0 \\ [/tex]

[tex] \frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2} + \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2} = 7 \\ \frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2}.\frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2} = 1 \\ f(t) = t^2 - 7t + 1 = 0 \\ t_1 = \frac{{7 - 3\sqrt 5 }}{2};t_2 = \frac{{7 + 3\sqrt 5 }}{2} \\ \frac{{x_1 }}{{x_2 }} \in (t_1 ;t_2 ) \Rightarrow f\left( {\frac{{x_1 }}{{x_2 }}} \right) < 0 \\ \left( {\frac{{x_1 }}{{x_2 }}} \right)^2 - 7\frac{{x_1 }}{{x_2 }} + 1 < 0 \\ x_1^2 - 7.x_1 .x_2 + x_2^2 < 0 \\ (x_1 + x_2 )^2 - 9.x_1 .x_2 < 0 \\ [/tex]

[omeganet]

2.

[tex] f(x) = \frac{{2.2^{2\cos ^2 x - 1} + (a - 1).2^{\cos ^2 x} }}{{2.2^{2\cos ^2 x - 1} - 2^{1 + \cos ^2 x} + 2}} \\ 2^{\cos ^2 x} = t \in \left[ {1;2} \right] \\ f(t) = \frac{{t^2 + (a - 1)t}}{{t^2 - 2t + 2}} \\ \left| \begin{array}{l} \frac{{t^2 + (a - 1)t}}{{t^2 - 2t + 2}} \le 1 \Rightarrow (a + 1)t \le 2 \\ \frac{{t^2 + (a - 1)t}}{{t^2 - 2t + 2}} \ge 0 \Rightarrow t^2 + (a - 1)t \ge 0 \Rightarrow t \ge 1 - a \\ \end{array} \right. \\ 1 - a \le 1 \Rightarrow a \ge 0 \\ t \le \frac{2}{{a + 1}} \\ \frac{2}{{a + 1}} \ge 2 \Rightarrow a \le 0 \\ a = 0 \\ [/tex]

[tex] f(t) = \frac{{t^2 - t}}{{t^2 - 2t + 2}} \\ \frac{{t^2 - t}}{{t^2 - 2t + 2}} = b \in (0;1) \\ g(t) = (1 - b)t^2 + (2b - 1)t - 2b = 0 \\ (1 - b).g(1) < 0 \Rightarrow t_1 < 1 < t_2 \\ 2^{\cos ^2 x} = t_2 \Rightarrow \cos ^2 x = \log _2 t_2 > 0 \\ \cos x = \pm \sqrt {\log _2 t_2 } = \pm m \\ [/tex]

Дъгата AB е равна на дъгата CD => x₁+x₂=∏

[omeganet]

Тъй като f(x) e непрекъсната за всяко x от R то:

[tex] \lim _{x \to - d} f(x)/x < - d/ = \lim _{x \to - d} f(x)/ - d < x < d/ \Rightarrow - ad + b = - bd + c \Rightarrow d = \frac{{b - c}}{{a - b}} \\ \lim _{x \to d} f(x)/ - d < x < d/ = \lim _{x \to d} f(x)/x > d/ \Rightarrow bd + c = cd + a \\ (b - c).d = a - c \\ \frac{{(b - c)^2 }}{{a - b}} = a - c \Leftrightarrow \frac{{(b - c)^2 }}{{a - c}} = a - b \Leftrightarrow \left( {\frac{{b - c}}{{a - c}}} \right)^2 = \frac{{a - b}}{{a - c}} = t \\ \left( {\frac{{b - c}}{{a - c}}} \right)^2 = \left( {\frac{{b - c + a - a}}{{a - c}}} \right)^2 = \left( {\frac{{b - a + (a - c)}}{{a - c}}} \right)^2 = \left( {\frac{{b - a}}{{a - c}} + 1} \right)^2 = \left( {1 - t} \right)^2 \\ \left( {1 - t} \right)^2 = t \\ t^2 - 3t + 1 = 0 \\ t_{1,2} = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2} \\ [/tex]

[Fed]

Браво omeganet!