Нужда от помощ за следното уравнение

intheday · Начинаещ Регистриран на: 11 May 2007 Мнения: 13

Дадено е уравнението x3-3x+1=0 да се докаже че то има три различни реални корена x1,x2,x3 и чеза тях са изпълнени неравенствата -2<x1<x2<x3<2

Реклама

omeganet · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 8:34 am Заглавие: re

[tex]f(x) = x^3 - 3x + 1 \\ f'(x) = 3x_2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1) \\ [/tex]
f(x) расте в (-∞; -1) и (1; +∞) и намалява в (-1; 1).
[tex]\lim _{x \to \pm \infty } = \pm \infty \\ f( - 1) = 3 \\ f(1) = - 1 \\ [/tex]
f(x)=0 има три реални корена: [tex]x_1 \in ( - \infty ; - 1);x_2 \in ( - 1;1);x_3 \in (1; + \infty )[/tex] f(-2)=-1<0 и f(2)=3>0 =>
f(-2).f(-1)<0 => [tex]x_1 \in ( - 2 ; - 1)[/tex]
f(-1).f(1)<0 => [tex]x_1 \in ( - 1 ; 1)[/tex]
f(1).f(2)<0 => [tex]x_1 \in ( 1 ; 2)[/tex]

xyz · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 8:50 am Заглавие:

За съжаление не мога да се ориентирам достатъчно бързо, но имаше общ метод за точното определяне на броя на корените в даден интервал. Това беше теорема на някой си. Изчисляваха се производните и се извършваше деление на полиноми с остатък. Ако някой се сети или има по-голям успех при търсенето в Интернет от мен - да казва.

xyz · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 9:24 am Заглавие:

Ето че открих теоремата:
[url]http://en.wikipedia.org/wiki/Sturm's_theorem[/url]
Според нея първо трябва да се изчислят:
[tex]f(x)=x^3-3x+1[/tex]
[tex]f_1(x)=f'(x)=3x^2-3[/tex]
[tex]f_2(x)=-(f(x) mod f_1(x))=2x-1[/tex]
[tex]f_3(x)=-(f_1(x) mod f_2(x))=3/2x+3[/tex]
[tex]f_4(x)=-(f_2(x) mod f_3(x))=5[/tex]

След което се изчисляват стойностите за -2 и 2:
[tex]f(-2)=-1; f_1(-2)=9; f_2(-2)=-5; f_3(-2)=0; f_4(-2)=5;[/tex]
[tex]f(2)=3; f_1(2)=9; f_2(2)=3; f_3(2)=6; f_4(2)=5;[/tex]

Според теоремата следва, че броят на смените на знака в първата редица (който в случая е 3) минус броя на смените на знака във втората редица (който очевидно е 0) е равен точно на броя на реалните корени (в сллучая се получава точно отговора 3) на полинома в този интервал (в случая (-2,2]).

uktc · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 9:43 am Заглавие:

За полином от трета степен тая теорема не е нужна според мен...
Все пак мерси за информацията, ще знам че съществува Wink

soldier_vl · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 7:56 pm Заглавие:

Това се прави с теоремата на Болцано. На първи кръг на олимпиадата се падна подобна задача. Мога да ви я дам ако искате.

uktc · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 8:03 pm Заглавие:

soldier_vl · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 8:33 pm Заглавие:

f(x)=x^4-2x³-12x² +4x+37
a)Намерете интервалите на растене и намакяване на функцията f'(x) и докажете, че уравнението f'(x)=0 има 3 реални решения
б)Докажете, че уравнението f(x)=0 има точно 2 корена в интервала [-1;+\infty )

uktc · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 8:35 pm Заглавие:

Стандартна задачка, не е за олимпиада(освен общински кръг).

soldier_vl · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 8:40 pm Заглавие:

Е тя е от първи кръг аз го бях написал. И все пак отнема време да се опише като хората. Но нивото на тази задача е далеч по-високо от това на изпитите. Нещо подобно единствено може да дадат като 10 задача в СУ. И все пак от мойто училище бях единствения, който успя да я реши, така че не много лесна Wink

uktc · Пуснато на: Tue Jul 10, 2007 8:54 pm Заглавие:

Прекалено е лесна за 10та задача за СУ. Не знам, може би просто на мен са ми силна страна този тип задачи.
В тази задача всичко е "по алгоритъм", просто описанието е тежко. А като 10та задача в СУ обичат да дават нещо кратичко, обаче много трудно.
Нормално е само ти от твоето училище да си решил задачата. Редовият ученик не схваща дори значението на производната(не че аз се имам за нещо повече). За него това са просто едни формули, нищо повече. Оттук и невъзможността за решаване на такъв тип задачи. Те искат да разбираш значението на производната.