Помощ за няколко задачи

[Newbie]

1. CD е височина към хипотенузата на AB на правоъгълния триъг ABC. Да се докаже, че ако r1, r1, r2 са радиусите на окръжностите, вписани в ABC, ADC и BDC, то r + r1 +r2 = CD

2. Страните AC, BC на триъг АВС служат за диаметри на полуокръжности, построени вън от триъгълника. Средите на тези полуокръжности са Р и Q, М е средата на АВ, a N е петата на височината СН на триъг. АВС. Да се докаже, че ъгъл PMQ= ъгъл PHQ = 90 град и PM = QM.

На тази задача доказах, че PHQ = 90 град... и ми е необходимо само да докажа, че <MPQ е 45 градуса, за да реша задачата, но си нямам и идея как да го направя.

3. Даден е триъгълник ABC и права l. Да се намери разстоянието от медицентъра на триъгълника до l, ако разстояниета от A, B и C до нея, са съответно a, b и c.

4. Даден е четириъгълник ABCD, в който AD = BC. Точките M, N, P, K са среди съответно на AC, AB, BD, CD. Да се докаже, че MPNK е ромб. Да се докаже, че правата, която минава през средите на диагоналите му образува равни ъгли с BC и AD.

Доказах, че е ромб, но не знам как да докажа второто, което се търси.

5. Даден е триъг. АВС с височини АА1, ВВ1 и СС1. Да се докаже, че тези височини са ъглополовящи на ъглите на триъгълник А1В1С1.


Надявам се някой да има достатъчно желание и свободно време да ми помогне и да не съм злоупотребил, пускайки толкова много задачи. Благодаря ви предварително.

[Реклама]

[Fed]

1 зад.

[tex]\begin{array}{l} \left. \begin{array}{l} r = p_{ABC} - c = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} - c \\ r_1 = p_{ADC} - b = \frac{{AD}}{2} + \frac{{CD}}{2} + \frac{b}{2} - b \\ r_2 = p_{BDC} - a = \frac{{BD}}{2} + \frac{{CD}}{2} + \frac{a}{2} - a \\ \end{array} \right\rangle + \\ \Rightarrow r + r_1 + r_2 = a + b + c - a - b - c + CD = CD\\ \end{array}[/tex]

[name01]

За 1. Незнам дали трябва и да го доказваш, това е основна задача:

[tex]\frac{c}{r}=\frac{a}{r_2}=\frac{b}{r_1}=k \Rightarrow S_{ABC}=pr=\frac{c.h}{2}\\ \\ kr.(r+r_1+r_2)=krh\Rightarrow h=r+r_1+r_2[/tex]

[Newbie]

Ами... може и да е основна задача, но съм в езикова гимназия и подготовката по математика там е по-скоро самоподготовка. А задачите са от сборника по геометрия на Коста Коларов, материала за осми клас. Благодаря ви много за бързата реакция. Някакви идеи по останалите задачи?

[zhivo_zad]

zad.5.
Това е петалния триъг.
<AA1B=<BB1C=90 deg.
Чет.АBА1B1 –вп.в окр.
<B1А1B =180 –\alpha
<CA1B1=\alpha

Чет.АCА1C1 –вп.в окр.
<C1А1C =180 – \alpha
<BA1C1=\alpha

Но <АA1B - \alpha =<AA1C -\alpha

[uktc]

5. Построявам окръжности с диаметри страните на триъгълника.



[tex]k_2: \angle B_1A_1A=\angle ABB_1[/tex]
[tex]k_3: \angle ABB_1=\angle C_1CB_1[/tex]
[tex]k_1: \angle C_1CB_1=\angle AA_1C_1[/tex]
[tex]=>\angle B_1A_1A= \angle AA_1C_1.[/tex]
Аналогично и за другите.

[Fed]

5 зад.

Всеизвестно е че ▲ABC~▲A₁B₁C~▲A₁C₁B~▲B₁C₁A

Ще го докажа само за едната двойка (другите са аналогични):
Нека ъглите на ABC са α,β,γ. Тогава:

cosγ=CA₁/AC=CB₁/BC => ▲ABC~▲A₁B₁C (γ-oбщ) => <B₁A₁C=α, <A₁B₁C=β

<C₁A₁B=α (това => от др. двойка ~ ▲)

Тогава <B₁A₁A=90-α, <AA₁C₁=90-α => AA₁ e ъглополовяща.

Аналогично се доказват и другите ъглополовящи.

[name01]

За задачата с четириъгълника, я провери да не би да пише трапец, защото ако AD и BC са страни в успоредник, за който AB>>BC фигурата не е ромб, а успоредник.

В случая с равнобедрен трапец, просто страните са средни отсечки и са 2 по 2 равни на

[tex]\frac{d_1}{2}&\frac{d_2}{2}[/tex], но от това че е равнобедрен следва [tex]d_1=d_2[/tex] т.е. всички страни на MNPK са равни.

Второто, което се търси следва автоматично от това че средната отсечка е успоредна на основата, слевователно, понеже трапеца е равнобедрен то ъглите които тази отсечка сключва с бедрата са равни, което също няма да е изпълнено ако ABCD е успоредник


Едит: Пак не съм прочел условието, сори

[Newbie]

Fed, zhivo_zad, uktc - благодаря ви за решенията на пета задача.

name01 - ...

Едит: Чак сега видях едита ти

[name01]

3-та я решавам с Талес, ама ми се струва че в 8-ми клас не решавате с Талес?

[Newbie]

Напиши я с Талес тогава, не съм 8 клас... просто задачите са от този материал.

[r2d2]

[omeganet]

Аз мога ли да отговоря?