Успоредник

[uktc]

Предлагам да обсъдим следната доста хубава задачка. Да видим кой какво решение ще предложи!

[Реклама]

[Methuselah]

О тази много лесно става с Менелай.
След малко давам чертеж и решение.

[Methuselah]

Нека AD=b, AB=a
Нека правата DP пресича АС в Q'. Ще докажем че Q' съвпада с Q (CQ/QA=CQ'/Q'A)
Разглеждаме ▲АВС с тразверсала Q'PX.
[tex]\frac{AX}{XB}.\frac{BP}{PC}.\frac{CQ'}{Q'A}.=1[/tex]
Нека ВР=kb.
PC=b(1-k)
От подобните АXD, BXP.
[tex]\frac{AX}{XB}=\frac{AD}{BP}[/tex]
[tex]\frac{AD}{BP}.\frac{BP}{PC}.\frac{CQ'}{Q'A}.=1[/tex]
=> [tex]\frac{CQ'}{Q'A}=\frac{PC}{AD}=(1-k)[/tex]
[tex]\frac{CQ}{QA}=\frac{CY}{AB}=\frac{CD-DY}{a}=\frac{a-MB}{a}=\frac{a(1-k)}{a}=1-k[/tex]

[r2d2]

Защо няма чертеж?

[Methuselah]

Za6toto sym idiot i zabravih da ka4a i izlqzoh. dove4era 6te pusna. Nqma kirilica. X e pres t. na (AB,DP) , a Y - na DC i MQ

[uktc]

Ето и моето решение.



С подобни триъгълници/теорема на Талес, имаме:



В сборника, от който я взех, задачата е решена по други 2 начина. Първия чрез хомотетия, а втория чрез вектори.

[Fed]

Eто и моето решение - струва ми се с пъти по-лесно:



Преформулираме условието така: Ако DQ ∩ BC = {P}, докажете че MP II AC.

[tex]\begin{array}{l}SM = NQ,\,\,DQ = BS,\,\,MD\,II\,NQ,\,\,DQ\,II\,BS \\ \left. \begin{array}{l} \frac{{SM}}{{DS}} = \frac{{NQ}}{{DS}} = \frac{{CQ}}{{CS}} \\ \frac{{PQ}}{{QD}} = \frac{{PQ}}{{BS}} = \frac{{CQ}}{{CS}} \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow\frac{{SM}}{{DS}} = \frac{{PQ}}{{QD}} \Rightarrow MP\,II\,SQ \Rightarrow MP\,II\,AC \\ \end{array}[/tex]

[Fed]

Ето още едно - пак доста лесно и със същата преформулировка:

[tex]\begin{array}{l} AS = CQ \\ \left. \begin{array}{l} \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AS}}{{AQ}} \\ \frac{{CP}}{{CB}} = \frac{{CQ}}{{CS}} = \frac{{AS}}{{AQ}} \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{CP}}{{CB}} \Rightarrow\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BP}}{{BC}} \Rightarrow MP\,II\,AC \\ \end{array}[/tex]

[Fed]

Kak ви се стуват двете решения по-горе? Мисля, че имам право да преформулирам условието така. Това не променя по никакъв начин нещата в задачата.

[name01]

Струват ми се напълно верни, а задачата е основна и с Талес е най-лесно.