Симпатично уравнение

[omeganet]

Една готина задачка:

Дадено е уравнението [tex]\sqrt {a + x + 1 - \sqrt {ax + a} } = x - \sqrt a + 1[/tex], където а≥0 е реален параметър
Да се докаже, че решението [tex]x(a)[/tex] е монотонно растяща функция на [tex]a[/tex] в интервала [tex]\left[ {1, + \infty } \right)[/tex] и да се намери [tex]\lim _{a \to \infty } x(a)[/tex]

[Реклама]

[omeganet]

Никой ли няма идея? Задачата е от примерна тема за УАСГ

[name01]

[omeganet]

Първата подточка е ясна, за това умишлено съм я пропуснал. Втората ме интересува повече, но тъй като третата я включва, реших направо нея да дам.

Ето докъде съм стигнал аз.

[tex]\sqrt {x + 1} (x - 2\sqrt a ) = - \sqrt a [/tex]
Трябва да се изрази х чрез а...

[cub]

ne znam dali vyob6te moje da se podhodi taka, kak mislite?
x² - x (2√a - 1) - 2√a = - √ (ax +a)
=> x² - x (2√a - 1) - 2√a ≤ 0
D=4a-4√a+1+8√a=(2√a-1)²
koreni sa x = 0 i x=2√a -1
togawa x prinadleji na (0; 2√a -1] za a> 1/4 ili [2√a -1;0)
imame zadaden intervala [1; +∞)
vtoriqt interval otpada
=> [1 ; 2√a -1]

F'(a) = 2√a -1= 1 / √a
za a>0 rastq6ta F (po uslovie a≥0)

[omeganet]

Имаш уравнението: [tex]x^2 - (2\sqrt a - 1)x - 2\sqrt a = - \sqrt {a(x + 1)} [/tex]. От него трябва да намериш [tex]x=f(a)[/tex] някак си? Не разбирам ти какво си направил... Освен това корените уравнението [tex]x^2 - (2\sqrt a - 1)x - 2\sqrt a = 0[/tex] са [tex]x_1 = - 1[/tex] и [tex]x_2 = 2\sqrt a [/tex]

[name01]

Използвала е, че лявата страна е равна на нещо отрицателно (- пред корена отдясно) и после е изследвала за а в кои интервали е отрицателно, аз не съм сигурен, но мисля че е правилно разсъждението, мкар и да не съм много сигурен защо?

Също ако х=2√а limx_a, нещо не ми се връзва

[DevilFighter]

Хора недейте да се мъчите. Условието на задачата не е така.Грешно е.Аз я имам тази задача и условието е:
[tex]\sqrt {a + x + 1 - 2\sqrt {ax + a} } = x - \sqrt a + 1[/tex] (другото е същото)

И подкоренната величина в лявата страна става ФСУ

[lpishinov]

Е така определено е по-ясно решението
Колко нерви ми коства предишното уравнение

[opalescence]

devil нзн откаде си взел условието но щом така задачата върви, досега не бях срещал убедително решение. аз публикувах за първи път задача без 2-ка, но така пишеше в файла ми за темите от УАСГ давани след 92 год. пожелавам на всички късмет на изпитите по математика в СУ и УАСГ до скоро

[DevilFighter]

[name01]

Да