твърдения за реална функция

[Jorkata]

Нека f:е реална функция.Докажете или опровергайте всяко от следните твърдения:
(а) Ако f е непрекъсната и дефиниционната и област е R,тогава f e монотонна.
(б) Ако f е монотонна и дефиниционната и област е R ,тогава f е непрекъсната.
(в) Ако f e монотонна и f e непрекъсната ,тогава дефиниционната и област е R.

[Реклама]

[vladob]

Претпоставувам дека под “монотонна“ или “непрекъсната“, мислиш дека е таква на целата дефинициона област.
Ако е така тогаш
(а) Не точно : f(x)= x², e дефинирана на R и е непрекината но не е монотона.
(б) Не точно :
[tex] f(x)= \{x ,\ \ x<0 \\ 1 ,\ \ x=0 \\ x+2 , \ \ x>0[/tex]
е монотона и дефинирана на R но не е непрекината
(в) Ако под “монотонна и “непрекъсната“, мислиш дека е монотона и непрекъсната на R тогаш исказот e тавтологија (p^q=>q) затоа што ако е непрекината на R значи дека е дефинирана на R. (Исто како да кажеш “Ако жабата е зелена тогаш е жаба“)
Ако под “монотонна и “непрекъсната“, мислиш дека е монотона и непрекъсната на област различна од R тогаш не е точно. Пример f(x)= 1/x е монотона и непрекината на (0,∞) а деф област е R\{0}