Регистрирайте сеРегистрирайте се

Квадратна функция


 
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 10:05 am    Заглавие: Квадратна функция

От много време не бях срещал толкова хубава алгебрична задача!



Да се намерят всички квадратни функции [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex], за които неравенствата [tex](x-1)(x-3)\le f(x)\le(x-1)^2[/tex] са изпълнени за всяко [tex]x[/tex] от интервала [tex][1;+\infty) [/tex] и най-малката стойност на [tex]f(x)[/tex] в този интервал е равна на [tex]-\frac{1}{4}[/tex].
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 11:34 am    Заглавие:

На пръв поглед ето за какво се сещам:
Търсим функция, чиято графика за всяко х≥1 се движи м/у двете графики на (х-1)(х-3) и (х-1)^2 (за частта х≥1) и се допира до -1/4 (защото според мен върхът на параболата е след 1). Аз разбирам това така: графиката минава през х=1, тя е толкова "отворена" колкото и другите две => а=1, докато се движи м/у двете графики тя не трябва да ги пресича за никое х.

За сега за това се сещам. Не знам дали е вярно. След малко ще го допиша.

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
omeganet
Напреднал


Регистриран на: 11 Apr 2006
Мнения: 258
Местожителство: Видин
Репутация: 36.2Репутация: 36.2Репутация: 36.2Репутация: 36.2
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 11:46 am    Заглавие: re

Тази задача съм я решавал, наистина е интересна. Ако не се лъжа, a,b,c са цели?

[tex] f(x) = ax^2 + bx + c \\ x^2 - 4x + 3 \le ax^2 + bx + c \le x^2 - 2x + 1 \\ \left| \begin{array}{l} (a - 1)x^2 + (b + 4)x + c - 3 \ge 0 \\ (1 - a)x^2 - (b + 2)x - c + 1 \ge 0 \\ \end{array} \right. \\ x \ge 1 \\ [/tex]
Системата трябва да е изпълнена за всяко х≥1 => коефициентите пред х2 не може да са отрицателни, защото тогава решенията ще бъдат интервали, а не лъчи.

[tex] \left| \begin{array}{l} a - 1 \ge 0 \\ 1 - a \ge \\ \end{array} \right. \Rightarrow a = 1 \\ \left| \begin{array}{l} (b + 4)x + c - 3 \ge 0 \\ - (b + 2)x - c + 1 \ge 0 \\ \end{array} \right. \\ [/tex]

Тук, ако коефициентите пред х са отрицателни, тогава решенията ще бъдат от вида (-∞;х0), което не може да съдържа лъча [1; +∞) => коефициентите са неотрицателни.

[tex] \left| \begin{array}{l} b + 4 \ge 0 \\ - b - 2 \ge 0 \\ \end{array} \right. \Rightarrow b \in \left[ { - 4; - 2} \right] \Rightarrow - \frac{b}{2} \in \left[ {1;2} \right] \\ f(x) = x^2 + bx + c \\ \left| \begin{array}{l} x \ge 1 \\ \min f(x) = f\left( { - \frac{b}{2}} \right) = - \frac{1}{4} \\ \end{array} \right. \\ c = \frac{{b^2 - 1}}{4} \in \left[ {\frac{3}{4};\frac{9}{4}} \right] \\ 1.c = 1 \Rightarrow b = \sqrt 5 - ne! \\ 2.c = 2 \Rightarrow b = \pm 3 \\ b \in \left[ { - 4; - 2} \right] \Rightarrow b = - 3 \\ f(x) = x^2 - 3x + 2 \\ [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 11:47 am    Заглавие:

Браво, omeganet!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 11:48 am    Заглавие:

До тези изводи стигам:

[tex]\left| \begin{array}{l}a + b + c = 0 \\ f\left( {\frac{{ - b}}{{2a}}} \right) = - \frac{1}{4} \\ a = 1 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left| \begin{array}{l} a = 1 \\ b + c = - 1 \\ b^2 = a + 4ac \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left| \begin{array}{l} a = 1 \\ b = - 1 \\ c = 0 \\ \end{array} \right. \cup \left| \begin{array}{l} a = 1 \\ b = - 3 \\ c = 2 \\ \end{array} \right.[/tex]

Така имаме 2 ф-и:

[tex]\begin{array}{l} f_1 (x) = x^2 - x \\ f_2 (x) = x^2 - 3x + 2 \\ \end{array}[/tex]

Условието на задачата удовлетворява втората ф-я (при х≥1 [tex]f_1 (x) = x^2 - x[/tex] се движи над (х-1)2)

И така като отговор получавам: [tex]f(x) = x^2 - 3x + 2[/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Fed
VIP


Регистриран на: 24 May 2007
Мнения: 1136
Местожителство: София (Русе)
Репутация: 113.3
гласове: 33

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 11:51 am    Заглавие:

Е, omeganet пак ме изпревари. Laughing

Хубаво е че все пак решихме задачата по 2 начина - ти - аналитично, аз - графично. Wink

uktc, задачата е доста добра!
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 11:58 am    Заглавие:

Браво и на Fed Wink
Знам, че е добра. Затова я пускам, да се тренираме за четвъртък Cool
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
opalescence
Начинаещ


Регистриран на: 30 May 2007
Мнения: 93

Репутация: 7.2Репутация: 7.2Репутация: 7.2Репутация: 7.2Репутация: 7.2Репутация: 7.2Репутация: 7.2

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 12:13 pm    Заглавие:

момчета всичките за СУ нали Very Happy надявам се няма да сте ми кокуренция в УАСГ щото ... Confused
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 12:21 pm    Заглавие:

opalescence, щом си решил 10та от СУ, недей да ми скромничиш тука... Wink
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
DevilFighter
Фен на форума


Регистриран на: 30 Jan 2007
Мнения: 507
Местожителство: Пазарджик
Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49Репутация: 49
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 1:20 pm    Заглавие:

А в условието казано ли е, че (a,b,c) са цели числа Question

Дори и да не е казано, че са цели числа, то това е единствената ф-ия отговаряща на условието.

Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
uktc
VIP


Регистриран на: 24 Jul 2006
Мнения: 1062

Репутация: 99.8Репутация: 99.8
гласове: 15

МнениеПуснато на: Sat Jul 07, 2007 1:31 pm    Заглавие:

Не, не е казано че са цели.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Математика за 11-12 клас, Кандидат-студенти Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.