Доказателство на една теорема?

Nikeca · Начинаещ Регистриран на: 06 Jul 2007 Мнения: 2

Имам проблем с една теорема плс хелп

Триъгълник АВС - остроъгълен. О - център на описаната окр. Н - ортоцентр. ОМ разстоянието от О до АВ. Да се докаже, че СН = 2ОМ.

Мерси предварително!

Реклама

uktc · Пуснато на: Fri Jul 06, 2007 9:20 pm Заглавие:

N и M- среди на BC и AB.
През N и M издигаме перпендикуляри. Ясно е, че пресечната им точка е т. О.
Всички страни на триъгълниците ▲AHC и NOM са успоредни помежду си. Значи тези ▲ са подобни. Значи CH/OM=AC/NM=2. Това следва от NM-средна отсечка.
П.П. Ти на това ако му викаш теорема...

Tony_89 · Пуснато на: Sat Jul 07, 2007 5:46 am Заглавие:

Ето един друг начин.

Нека височината през C да е CD, а през A да е AN.
AB - c, BC - a, AC - b, <ACB = γ

S_ABC = c*CD/2 = a*b*sin(γ)/2

CD = a*b*sin(γ)/c

cos(γ) = CN/b

CN = b*cos(γ)

<BOM = γ => cotg(γ) = OM/BM = 2*OM/c

OM = c*cotg(γ)/2

▲HNC ~ ▲BDC =>

=> CH/a = CN/CD = (b*cos(γ))/(a*b*sin(γ)/c) = c*cotg(γ)/a

CH = c*cotg(γ) = 2*OM

omeganet · Пуснато на: Sat Jul 07, 2007 8:37 am Заглавие: re

Трети начин:
CD и AP - височини, M - среда на AB

[tex] \left. \begin{array}{l} \frac{{CP}}{{AC}} = \cos \gamma \\ \frac{{AC}}{{\sin \beta }} = 2R \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow CP = 2R.\sin \beta .\cos \gamma \\ \Delta PHC\~\Delta DBC \Rightarrow \angle PHC = \beta \\ \frac{{CP}}{{CH}} = \sin \beta \Rightarrow CH = 2R.\cos \gamma \\ \frac{{OM}}{R} = \cos \gamma \Rightarrow OM = R.\cos \gamma = \frac{1}{2}CH \\ [/tex]

r2d2 · Пуснато на: Sat Jul 07, 2007 9:43 am Заглавие:

Eто още едно доказателство:

uktc · Пуснато на: Sat Jul 07, 2007 9:56 am Заглавие:

Доказателството на r2d2 e най-красиво.

Nikeca · Пуснато на: Sat Jul 07, 2007 12:14 pm Заглавие:

мерси

xyz · Пуснато на: Mon Jul 09, 2007 7:42 am Заглавие:

А ето и едно твърде известно решение, доказващо че ортоцентърът, медицентърът и центърът на описаната окръжност лежат на една права. Правиш хомотетия с център медицентъра и коефицент -1/2. При тази хомотетия върховете отиват в средите на срещуположните страни (тъй като медицентъра разделя медианата в отношение 2:1). Следователно височините се изобразяват в успоредни прави, минаващи през средите на страните. Така височините отиват в симетралите. Оттам пресечната точка на височините - (ртоцентъра) отиват в пресечната точна на симетралите (центъра на вписаната окръжност).
От горната конструкция получаваме:
- трите височини на триъгълник се пресичат в 1 точка, защото образите им при хомотетия са симетралите, които се пресичат в 1 точка.
- Ако H, M, O са оротцентъра, медицентъра и центъра на описаната окръжност, то тогава O, M, H лежат на една права, и освен това MH=2MO.
- Решението на тази задача, т.е. CH=2CC' (всъщност C' е означената по условие точка M).