Хамалогия

[name01]

Пускам тая задачка, от УАСГ-то, защото я реших по най-хамалския начин направо не ми се вярва да се решава толкова тегаво, ако някой се сети нещо по-хитро да каже.





Отговори:

[Реклама]

[Fed]

а) я реших по стандартния начин. Писане има доста, но иначе сметките са доста приятни. Ако искаш ще постна и решението си, ако смяташ че твоето е по-тегаво.

[Fed]

На б) предполагам че обема на долното тяло ще се раздели на една пирамида, една пресечена пирамида и още една пирамида. Но писането ще е много.

Задачата наистина си е доста тегава.

[name01]

Изписах си ръцете на тая задача, затова ми се вижда много тегава.

[xyz]

Нещо не ми се получава резултата! Ето ги моите изчисления (всичко се гледа от чертежа - това е сечение на пирамидата по диагонала):
[tex]a:=AC=AC'_1+C'_1B= AC'_1+AA'_1=h(cotg \alpha+ cotg \beta)=h sin(\alpha+\beta)/ sin \alpha . sin \beta[/tex]
[tex]b:=A_1C_1= h sin(\alpha-\beta)/ sin \alpha . sin \beta[/tex]

Нека Y е пресечната точка на околните ръбове на пирамидата. Тогава ще изчисляваме някакви обеми:
[tex]V_{AB_2C_1D_2Y}=1/3.h_YS_{AB_2C_1D_2}[/tex]
[tex]V_{AB_2C_1D_2Y}=V_{B_2YD_2A}+V_{B_2YD_2C_1}=1/3 h_AS_{B_2YD_2}+1/3 h_{C_1}S_{B_2YD_2}=1/3(h_A+h_{C_1})S_{A_2YC_2}[/tex]
[tex]\Rightarrow S_{AB_2C_1D_2}=(h_A+h_{C_1})S_{A_2YC_2}/h_Y[/tex]
Виждаме, че с тяхна помощ лесно можем да намерим търсеното лице.

Следващата ни стъпка е да изчислим лицето в горната формула, последством намирането на височината:
[tex]YX_1/b=(YX_1+h)/a \Rightarrow h_1:=YX_1=hb/(a+b)[/tex]
[tex]X_1X_2/b= X_2X/a \Rightarrow aX_1X_2=(h-X_1X_2)b \Rightarrow X_1X_2 = hb/(a-b)[/tex]
[tex]\Rightarrow YX_2=2hab/((a+b)(a-b))[/tex]
и основата:
[tex]A_2C_2/X_2Y=A_1C_1/X_1Y \Rightarrow A_2C_2=b(2hab/((a-b)(a+b)))/(hb/(a+b)) = 2ab/(a-b)[/tex]
на триъгълника.

Сега намираме:
[tex]S_{A_2YC_2}=1/2 A_2C_2 . YX_2 =1/2(2ab/(a-b))(2hab/((a+b)(a-b)))[/tex]
[tex]h_A+h_{C_1}=AX+C_1X_1=(a+b)/2[/tex]
и остава да се определи h_Y. Това е лесно, разглеждайки подобните триъгълници на фигурата. И така:
[tex]h_Y=cos b YX_2=cos b (2hab/((a+b)(a-b)))[/tex]

Така окончателно можем да намерим търсеното лице:
[tex]S_{AB_2C_1D_2}= 1/2(2ab/(a-b)) (a+b)/2 / cos b[/tex]
[tex]S_{AB_2C_1D_2}= ab(a+b) / (2(a-b)cos b)[/tex]
Разбира се, вече е момент да заместим a и b и намерените по-горе стойности, т.е. изразени чрез ъглите. Не получавам, обаче резултата.



EDIT: Добавих и груб чертеж на пирамидата, но без означения на върхове.

[name01]

За а) ползвам, че диагоналите на сечението са перпендикулярни, ама малкия диагонал се намира пак със много сметки, ще си изровя решението че то беше някаква бала от листа направо, не искам да ми се пада такава задача на изпита в Петък.

[xyz]

Като оставим всички обеми настрана, то грешката е при мен. Наистина, тъй като по-горе намирам: [tex]A_2C_2=2{ab \over a-b}[/tex], а големият диагонал е очевидно [tex] h/sin \beta[/tex], то 1/2 от произведението на тези числа е точно търсеното, защото [tex]a-b=2cotg \alpha [/tex] (вижда се при изваждането на първите изрази за a и b в предния ми пост).
Намирането на обемите, обаче, би помогнало, за подточка б).

Междо другото знаете ли някой от прехвалените си продукти за геометрични построения, да може да извършва проверка за съждения? Имам пред вид, не някакви свръх възможности, а да състява няколко примери и да изчислява изразите приближено. Ако разликата е твърде малка, то изразът се счита за верен, но ако стане доста голяма - автоматично го счита за грешен и сигнализира това.