помощ за една функция :)

[Fanito]

Здравейте. Задачата на пръв поглед не е трудна, но след като видях решението...
Идеята ми е, някой ако може да я реши и да видя други начини за решаване... :p

Та:

Дадена е функцията f(x)=x²-2mx+8, където m е реален параметър. Да се намерят всички стойности на m, за които f(x)≥0 за всяко число х.

Благодаря

[Реклама]

[Methuselah]

Функцията има положителен коефициент пред х² значи трябва да нямаме два корена, т.е. D≤0
m²-8≤0
|m|≤8

[name01]

[tex]4m^2-32 \leq 0\Rightarrow m^2 \leq 8 \Rightarrow m\in [-2\sqrt2,-2\sqrt2][/tex], така е изпълнено за всяко х

[Methuselah]

Бих искал да видя начина на решаване на задачата на Fanito.....

[Fanito]

Ето... и на вас ви се губи втората част от отговора, която е дадена в сборника.

И.. хм, сега ще опиша двата случая ( решението не е мое, а от сборника...)

1ви случай е, когато D<0 и тогава се получава m[-2√2, 2√2]

2ри случай, който те разглеждат е, когато D>0 и ако x₁<x₂, то следва, че f(x)>0 за всяко число х, ако:

λ n<=x₁<n+1
λ n<=x²<n+1

където n e цяло число.

Умножават и събират двете страни на неравенствата и прилагат формулите на Виет и става, че n=2 или n=-2 са единствените цели решения за x₁ и х₂

Тоест m принадлежи в интервала (n, n+1), тоест m принадлежи (2, 3) или m принадлежи (-3, -2).
Тъй като D>0 .. заместват с разположение на корените... f(3) i f(-2) да са по-големи от нула и се получава, чее общото решение от случай 1 и случай 2 е m принадлежи на [-17/6; 17/6]

[name01]

Неприятна работа...
И все пак това решение, някак си аз няма да се досетя за него бих подходил рутинно:

[tex]D>0\Rightarrow m^2>8\hspace{15}m\in(-\infty,2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,+\infty)\Rightarrow x_1=m+\sqrt{m^2-8},x_2=m-\sqrt{m^2-8}[/tex] тук сега х₁>х₂

Явно нещо ми бяга защото ако m е в този интервал параболата винаги ще има връх x₀ под нулата, т.е. тези стойности на f(x) са отрицателни

Ако може някой да обясни, че и на мен не ми е ясно

[uktc]

Миличка Fani, да не би в условието да се иска неравенството да бъде изпълнено за всяко ЦЯЛО число x?

[name01]

Би трябвало

[Fanito]

[uktc]

Знаех си . Задачата е давана в СУ.
Оригиналното й условие е:

Нека [tex]f(x)=x^2-2mx+8[/tex], където [tex]m[/tex] е реален параметър. Да се намерят всички стойности на [tex]m[/tex], за които:
а) уравнението [tex]f(x)=0[/tex] има реални корени [tex]x_1[/tex] и [tex]x_2[/tex], такива че [tex]|x_1-x_2|\le1[/tex]
б) неравенството [tex]f(x)\ge0[/tex] е изпълнено за всяко цяло число x.

[Fanito]

Дам, СУ 1997, само че малко са сменили условието в моя сборник

[name01]

б) си е неприятна

а)[tex]Ix_1-x_2I \leq 1\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq 1\Rightarrow 4m^2-32\leq 1[/tex]

[tex]m\in[-\frac{\sqrt33}{2},-2\sqrt2]\cup[2\sqrt2,\frac{\sqrt33}{2}][/tex]

б) за случая [tex]m\in(-\infty,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,+\infty)[/tex]

Трябва и двата корена да са м/у 2 последователни цели числа n и n+1, което дава

[tex]\left[\begin{array}{ccc}\\ n<x_1<n+1\\ \\ n<x_2<n+1\end{array}\right][/tex]

Умножаваме и събираме почленно неравенствата и получаваме нова система:


[tex]\left[\begin{array}{ccc}\\n^2<x_1x_2<(n+1)^2\\ \\ 2n<x_1+x_2<2(n+1)\end{array}\right]\Leftrightarrow \left[\begin{array}{ccc}\\n^2<8<(n+1)^2\\ \\ n<m<n+1\end{array}\right]\Rightarrow n=\pm2[/tex]

Разглеждат се : интервалите [tex](-3,-2\sqrt2)\cup(2\sqrt2,3)[/tex]

[tex]f_{(-3)}\geq 0 \Leftrightarrow m\geq -\frac{17}{6} \cup f_{(3)}\geq 0 \Leftrightarrow m\leq \frac{17}{6}[/tex], като обединим с варианта D<0 се получава:

[tex]m\in[-\frac{17}{6},\frac{17}{6}][/tex]

[Fed]

[name01]

Излиза, че може и така.

[DevilFighter]

И аз наскоро се сблъсках с тази задача и напрво като видях решението с тези цели числа и.... до сега не бях използвал такова нещо

[uktc]

Абе оставете ги тези глупави n-ове.
Върха на параболата е с абциса m.
За случая когато [tex]D\ge0[/tex].
Тъй като е нужно [tex]|x_1-x_2|\le1[/tex], то [tex]m\in[-\frac{\sqrt33}{2},-2\sqrt2]\cup[2\sqrt2,\frac{\sqrt33}{2}][/tex]
Но [tex][-\frac{\sqrt33}{2},-2\sqrt2][/tex] се съдържа в (-3;-2), а [tex][2\sqrt2,\frac{\sqrt33}{2}][/tex] се съдържа в (2;3).
Ами значи при [tex]m\in[-\frac{\sqrt33}{2},-2\sqrt2][/tex] e нужно:
[tex]f(-3)\ge0\\f(-2)\ge0[/tex].
А при [tex]m\in[2\sqrt2,\frac{\sqrt33}{2}][/tex] е нужно:
[tex]f(2)\ge0\\f(3)\ge0[/tex].
Devil, както виждаш задачата може да се реши и по нетолкова нестандартен начин, не знам какво си се шашнал толкова от нея...