3 Екстремални задачи в геометриата

[zhivo_zad]

Зад.1.
С каква най-къса отсечка може да се раздели правоъгълен триъгълник с катети a и b на две равнолицеви части.
Зад.2.
С каква най-къса отсечка може да се раздели равностранен триъгълник със страна а на две равнолицеви части.
Третата е малко по интересна
Зад.3.
Четериъгълник с страни АB=a, BC=b, CD=c, DA=d, с лице S.Да се докаже ,че
S ≤(a.c+b.d)/2 ,и равенсто се достига само за вписан четериъгълник с перпендикулярни диагонали.

[Реклама]

[uktc]

3.





Първа и втора са много нестандартни.

[uktc]

Значи на втора задача получих [tex]\frac{a.sqrt{2}}{2 } [/tex]. Кажи ако е вярно да ти напиша решението.

[zhivo_zad]

Толкова е.

[uktc]

Нека триъгълника е ABC. Нека отсечката е PQ.
P и Q не може да са върхове на триъгълника.
Когато едната от двете точки съвпада с някой връх на триъгълника, другата ще е средата на срещуположната страна. Тогава [tex]PQ=a\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
Нека сега нито P, нито Q е връх на триъгълника, т.е. нека P и Q са от страните на ABC.
Нека например P е от AC, а Q е от AB.
Нека [tex]AP=x; x \in (\frac{a}{2};a)[/tex].
От [tex]S_{APQ}=\frac{S_{ABC}}{2}[/tex] намираме [tex]AQ=\frac{a^2}{2x}[/tex].
Ясно е, че PQ постига минимум тогава, когато PQ^2 постига минимум.
Сега от косинусовата за PAQ имаме:
[tex]PQ^2=AP^2+AQ^2-AP.AQ[/tex]
[tex]PQ^2=x^2+\frac{a^4}{4x^2}-\frac{a^2}{2}[/tex], и предвид неравенството на Коши:
[tex]PQ^2 \ge 2 \sqrt{x^2 \frac{a^4}{4x^2}}-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}[/tex].
Значи минималната стойност на PQ e [tex]\frac{a \sqrt{2}}{2}[/tex]. Постига се при [tex]x^2=\frac{a^4}{4x^2}[/tex], т.е. при [tex]x=\frac{a}{^4\sqrt{2}}[/tex].
И тъй като [tex]1<^4\sqrt{2}<2[/tex], то [tex]\frac{a}{^4\sqrt{2}} \in (\frac{a}{2};a)[/tex].
Значи [tex]\frac{a \sqrt{2}}{2}[/tex] е достижима стойност за PQ. И тъй като тя е по-малка от [tex]a\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], то тя е и възможно най-малката за PQ.

П.П. Много хубава задача. Дано някой реши и първа, и тя не ми се струва лоша.

[Fed]

Я кажи, на първа толкова ли е[tex]\sqrt {b\sqrt {a^2 + b^2 } - b^2 }[/tex], да знам дали да пиша и решението?

[uktc]

Fed, пиши, не се притеснявай

[Fed]

Ок, решението пристига скоро...

[Fed]

Пиша решението в 2 поста, защото е дълго и има проблем с изобразяване някой път.

[Fed]

[uktc]

Защо го няма случая, когато точките са на AB и BC?

[Fed]

Тогава се получава [tex]PQ = \sqrt {a\sqrt {a^2 + b^2 } - a^2 } [/tex] и разсъжд. са аналогични.
Просто се получава много дълго решение и реших това като симетричен случай (b се заменя с а) да не го пиша, защото се изобразя трудно.

[Fed]

Ето и един чертеж:

[uktc]

Ахам... Еми браво, сравнително достоверно ми се вижда решението.
Не бяха лоши тези 2 задачки.

[Fed]

Първите 2 бяха страхотни!

[zhivo_zad]

На първа отговора е [tex]\sqrt{ab} [/tex]
Но на Fed решението ми изгглежда вярно незнам каде бъркаме.

[r2d2]

[Fed]

Реших частния случай.
Получавам че най-малката отсечка е √12, която се постига и чрез общата ф-ла, която съм получил като отговор по-горе. √аb в частния случай е √60>√12, медианата е 6,5>√12 => решението ми горе трябва да е вярно. Забялязваме че √аb е най-дълга. Да не би това да се търси?

[r2d2]

Fed, доколкото разбирам, най-късата отсечка с краища върху катетите е дълга √60 , така ли?

[Fed]

Ако краищата трябва да са върху катетите - да, най-късата е √60. (Сега виждам че сте написали "Намерете най-късата отсечка с краища върху катетите") Аз решавах изцяло частния случай, с всички варианти на краища.

Вярно ли е?

И още едно допълнение към задачата - ако краищата са в/у АВ и ВС най-късата отсечка е √40

[r2d2]

Говорим само за отсечки с краища върху катетите. Аз получавам √61. Не се будалкам и не мисля, че греша.

Можеш ли сам да си откриеш грешката?

[Fed]

Да, ясно. Сега ще се опитам да го дооправя.

[Fed]

Прав сте. Наистина се получава √61. Не бях съобразил, че краищата трябва да са на катетите, а не на техните продължения.
Единия край съвпада с В, а другия е на растояние 6 от С.

[r2d2]

Eто и пълно решение: