Занимателна задачка

[Relinquishmentor]

Докажете, че cos 36° = φ/2, където φ = (1 + √5)/2 ≈ 1,6180339887498948482045868343656...


И извинявайте, че нацелих грешен раздел

[Реклама]

[Methuselah]

Да няма нещо общо с пентаграма?

[omeganet]

cos36° се намира най-лесно от равнобедрен триъгълник с ъгли 72°, 72° и 36°. Построява е едната ъглополовяща на един от по-големите ъгли и с косинусова теорема и отношения се намира търсената стойност.

[uktc]

Ето едно чисто аналитично доказателство:
5.36°=180°;
2.36°=180°-3.36°;
sin(2.36°)=sin(180°-3.36°)=sin(3.36°)
2sin36°.cos36°=sin36°(3-4sin²36°)
2cos36°=3-4(1-cos²36°)
4cos²36°-2cos36°-1=0, откъдето като вземем предвид cos36°>0, получавамe cos36°=(1 + √5)/4.

[Relinquishmentor]

uktc, много добро доказателство, значитено по-елегантно от това, за което аз се сетих.

[uktc]

Дай да видим твоето решение.

[Relinquishmentor]

Ами много го помня, пък и освен това заема около един лист голям формат. Първо се намира cos 18°, като положим 18° = α и получаваме уравнението cos 5α = 0, след това представяме cos 5α като сбор на тригонометрични функции от 5-та, 3-та и първа, степен, сиреч отделяме само cos α, решаваме едно биквадратно уравнение и засичаме кой отговор принадлежи на допустимите стойности, и намираме отговора, след което вече извеждаме и cos 36°. Абе мътна и кървава, обаче след много зор се получи резултат.

[uktc]

cos18° може да се намери по аналогичен начин, като вземем предвид 5.18°=90°