Две задачи

[r2d2]

1. Числата a,b,c са такива, че а<b<c и
а+b+c=6
ab+ac+bc=9
Докажете, че
0<а<1
1<b<3
3<c<4

2. Вярно ли е твърдението ▲АBC е правоъгълен, тогава и само тогава, когато 2R=p-r?
(Ако е много лесна или тъпа sry)

[Реклама]

[Methuselah]

Ето решението ми на първа:
|a+b+c=6
|ab+bc+ac=9

|b+c=6-a
|a(b+c)+bc=9

|b+c=6-a
|bc=a²-6a+9

b и с са решения на уравнението:
x²+(a-6)x+a²-6a+9
Пресмятаме дискриминантата
D=-3(a²-4a)
[tex]b=\frac{6-a-sqrt{-3(a^2-4a)}}{2}[/tex]
[tex]c=\frac{6-a+sqrt{-3(a^2-4a)}}{2}[/tex]
Значи за да са реални a,b и с трябва числата да принадлежат от 0 до 4
Сега взимаме
За а=0 b съвпада с с=3
За а>0 b намалява, а с расте.
За а=1 b=1, c=4
За а>1 b<a
С което доказваме исканото

[r2d2]

Метх каза: За а>0 b намалява, а с расте. Toва очевидно ли е?
И защо 1<б<3?

[cub]

▲ABC-правоъгълен

[Methuselah]

Нали тръгваме от положението а=0 , b=c=3
Като а става по-голямо от 0 b става по-малко от 3, а с - по-голямо.
Като а стане 1, b също намалява до 1, а с става 4.
Ако а стане по-голямо от 1 става по-голямо и от b и тук се нарушава условието а<б<с

[Methuselah]

logmealien, с този чертеж какво доказваш освен че условието е изпълнено поне за правоъгълните триъгълници

[cub]

взимам един правоъгълен ▲ и доказвам, че 2R=p-c?
"тогава и само тогава" - аз съм доказала само "тогава", нали ...или?

[Methuselah]

Само "тогава" - да. В задачата се пита: "Има ли друг триъгълник освен правоъгълния за който е изпълнено 2R=p-r"
Поне според мен.. сега съм заспал

[cub]

а бе то и аз съм заспала, но няма друг ... Methuselah, мисля, че е време да отложим мисленето за по-късно днес,защото почнахме с глупостите

[HeypaBHobeceH]

Нека ▲АВС е със стандартни означения за ъгли и отсечки. Ще разглеждам случаите спрямо < α
1сл. α>90 , α/2 в (45;90)
тогава имаме в сила следните тъждества: cotgα/2 <1 и sinα<1
oт cotgα/2= (p - a)/r следва, че r > p-a (1). Oт 2R = a/sinα < a => 2R>a (2).
Oт тук, като заменим 2R с а в неравенство (1) и взимаме в предвид, че p - a > p - 2R (понеже 2R>a от (2)) , то посоката на неравенството е спазена и r > p - 2R <=> 2R > p - r следователно желаното равенство е невярно за тъпоъгълен триъгълник.

2 сл. α<90, α/2 е в (0;45) ще го напиша малко по късно, че трябва да излизам, а още не ми е готов

[DevilFighter]

Ето моето решение на двете задачи.

[r2d2]

Devil на зад. 1 пишеш (ред 3 или 4) [tex] b+c \ge 2sqrt(bc)[/tex], което вече предполага, че в и с са неотрицателни.
За втората задача не виждам грешка. Аз самият получих това необходимо и достатъчно условие по друг начин.
ЖОКЕР: и двете задачи се решават като се разгледа подходяща кубична функция.
Ето моето решение на първата задача с квадратна функция.

[DevilFighter]

r2d2, добре си я решил с повечко анализ и по-малко писане.Аз я реших с повече писане и с по-малко анализиране.

Този ред беше напълно излизшен в решението на 1зад.,просто бях забравил да го изтиря (вече го премахнах).

Ако до няколко дни никой не предложи друго решение на 2зад. трябва да постнеш и твоето...

[uktc]

r2d2, браво, много ми хареса решението ти.

[r2d2]

Eто моето решение, но обезателно вижте поста на Маги (браво, момиче!!) http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2310.

Напишете полиноми с корени:
1. а,b,c
2. r_a,r_b,r_c

[r2d2]

Решение на зад.1

Нека числата а<b<c са корени на уравнението f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=0
Имаме f(x)=x³-(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)-abc или
f(x)=x³-6x²+9x-abc.

Пресмятаме f'(x)=3x²-12x+9=3(x²-4x+3)=3(x-1)(x-3)
Проверете, че за да има f(x)=0 три корена, трябва f(1)>0 и f(3)<0. Пресмятаме
f(1)=4-abc>0
f(3)=-abc<0. От тези две условия имаме, че f(x) има корен в (1,3).
Пресмятаме
f(0)= -abc <0 => f(x) има корен в (0,1) и
f(4)= 4-abc>0 =>f(x) има корен в (3,4), Q.E.D.

[Fed]

Браво, r2d2! Много добро решение.

[uktc]