УАСГ '95

[uktc]

...

[Реклама]

[uktc]

И още една от 2002 г:

[opalescence]

ще пиша по първата задача. нека CH e височина в трапеца. нека r e радиуса на вписаната окр , AD=a , a BC=b.ясно е че CT=b-r и BT=a-r. CH=2*r oттам правин питагор за DCH и намираме r=ab/(a+b). oт друга страна знаем че CT/TD=b-r/a-r=1/k
заместваме с r и получаваме b²/a²=1/k²
мн бих се радвал да видя решението на втората задача защото ме мъчи от няколко дни

[name01]

[tex]\frac{S_{\triangle ADT}}{S_{\triangle CFT} }=k^2\Rightarrow \frac{DT}{ TC}=k [/tex]

Съединяваме центъра на окръжността P със D , C и T, AD=a, BC=b

[tex]\frac{DL}{CM}=\frac{DT}{CT}=k \hspace{10}\frac{a-R}{b-R}=k \hspace{15} (a-R)=k.(b-R)[/tex], но [tex]\angle DPC=90^o\Rightarrow R^2=(a-R)(b-R)[/tex]

[tex]\cancel{R^2}=a.b-R.a-R.b+\cancel{R^2}[/tex]

[tex]R=\frac{a.b}{a+b}\Rightarrow a-\frac{a.b}{a+b}=k.(b-\frac{a.b}{a+b})[/tex]

[tex]a(a+b) - ab - k(b.(a+b)-ab) \rightarrow a^2 +\cancel{ab-ab -k.ab+k.ab}=k.b^2[/tex]

[tex]\frac{a}{b}=\sqrt{k}[/tex]

[name01]

за [tex]k=4\Rightarrow \vec{BC}=\frac{1}{2}\vec{AD}=\frac{1}{2}\vec{b}[/tex]

[tex]\vec{DC}=\vec{DA}+\vec{AB}+\vec{BC}=-\vec{b}+\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}=\vec{a}-\frac{1}{2}\vec{b}[/tex]

[tex]\vec{DT}=\frac{k}{1+k}\vec{DC}=\frac{4}{5}\vec{a}-\frac{2}{5}\vec{b} \hspace{10} \vec{AT}=\vec{AD}+\vec{DT}=\frac{4}{5}\vec{a}+\frac{3}{5}\vec{b}[/tex]

[uktc]

Благодаря Ви.
За втората б) е ясно, че MT₁²=MT₂.ME=64; MT₁=8; OT₁=16. За равнобедрения T₁T₂O знаем основата и бедрото и лесно намираме лицето.
Обаче по а)...

[cub]

нека <OFT2= γ и <FET2=λ
=><FOT1=γ (1)
<MEO=λ
(▲FT2E~▲MEO)
<T2EO=180°-λ
▲T2OE~▲FOT2 => <ET2O=γ
▲Т2ОЕ: <ЕОТ2=λ -γ(2)
От (1) и (2)=>МОТ2=λ
=>▲МОТ2~MOE =>
MO / MT2 = ME / MO => MO² = ME.MT2
но от MT1²=ME.MT2 (допирателна и секуща)
=> ОМ=МТ1

[uktc]

Евала, евала.

[name01]

Тия скрити подобни винаги са ми били много неприятни...

[uktc]

А тука бяха доста на брой .
Наистина много добра задача е това.

[cub]

аз какви ли глупости не мислех по задачата, чак по едно време се сетих да си означа ъглите,кой знае защо този момент го бях пропуснала...хубава задачка