Височини

[Saposto_MM]

Даден е остроъгълен (то може и при тъпоъгълен да е така, но не съм сигурен, затова нека го ограничим до остроъгълен) триъгълник АВС. Точка Н е ортоцентър. Точка М е среда на ВН, а точките Р и К са петите на височините спуснати от върховете А и С. Да се докаже:
a)[tex]KM=PM[/tex]
b)[tex]\angle{KMP}=2\angle{ABC}[/tex]

[Реклама]

[Fed]

a) KM и PM са медиани в правоъг. тр. => KM=PM=1/2*BH

b) I н-н

Четириъг. KBPH може да бъде вписан в окр. с център М (<BKH=90 => BH=d) => <KMP (централен) = 2*<KBP (вписан)

II н-н

Нека <KBH=α, <PBH=β, <KMH=x, <PMH=y
▲KMH, ▲PMH - равнобедрени;
Лесно се изразява x=180-2.(90-α) и y=180-2.(90-β) => x+y=2(α+β) => <KMP=2.<KBP