Една тестова

[name01]

Вземете куб със страна а впишете в него цилиндър със диаметър а и височина а, изправете куба на верикален телесен диагонал и прекарайте 2 хоризонтални режещи равнини, които разделят телесния диагонал на 3 равни части.

1. Извадете от обема на куба обема на цилиндъра след което извадете горната и долната част, кото отрязват 2-те равнини.

Какъв е обема на останалата част от куба?

Какъв ще е обема на останалата част, ако вместо 1 бяхме вписали 2 цилиндъра в 2 съседни страни и сътветно бяхме извадили техните обеми?

Сещате ли се за чисто геометрично решение на задачата?

Това не е някаква кандидатстудентска задача интересно ми е просто как вие я решавате.

[Реклама]

[name01]

Ако някой не ви се чертае:

[name01]

Anyone?

[Fed]

Май никой за сега...

[name01]

Аз току що разбрах, че "решението" ми въобще не е решение, а нещата седят по друг начин за тая задача или иначе казано, задачата според мен има решение със средствата на планиметрията и стереометрията за среден курс, а иначе с интеграл би трябвало да става с един ред.

Но подозирам че решението със наличния материал води до един вид решение с интеграл без да си учил интеграл, мисля че след малко блъскане ще стигна до него.

[Fed]

[Methuselah]

От скоро я гледам тази задача и ето до какво стигнах:
Ясно че равнините са равнините определени от АСВ₁ и А₁С₁В и че обемът между тях е (2/3)а^2
Лошото е че при сечения успоредни на основата лицето което е ограничено от пресечниците на сечението, двете равнини от условието и цилиндъра не е константа.
Но пък може да се направи функция за него и да се сметне интегралът.

Още ще я мисля.
От къде я намери тая задача?

[name01]

Ок предполагам с интеграл ще е нещо рутинно затова ще кажа докъде стигам и някой ако може само да извърши сметката с интеграла защото аз не се справих със това което знам.

Ще ползвам първия чертеж и следната илюстрация, за моето 1/2 геометрично решение:


Очевидно обема на средната част отрязана от равнините е [tex]\frac{2}{3}.a^3[/tex] и задачата опира до намирането на часта от цилиндъра отрязана от равнината
от следния чертеж който представлява равнина, определена от телесния диагонал и ръб на куба свързан с него, виждаме че равнината отрязва част от цилиндъра

Нека разгледаме само частта от куба която отрязва равнината през точките [tex]G,D,I[/tex], където [tex]D[/tex] е центъра на куба и равнината е успоредна на [tex]AC[/tex], т.е. дели куба на две еднакви части.



т.[tex]G[/tex] се явява центъра на цилиндъра [tex]CJ[/tex] е горната режещата равнина която дели телесния диагонал, а [tex]L[/tex] е пресечната точка на тази равнина със цилиндъра (неговата образувателна в общата равнина) От Талес следва:

[tex]\frac{IL}{AC}=\frac{IJ}{AJ}\Rightarrow IL=\frac{CA.IJ}{AJ}=\frac{a}{\sqrt2}[/tex]

Можем да намерим обема на полуцилиндъра със същата основа, но с височина = [tex]\frac{a}{\sqrt2}[/tex], който съдържа частта която ни трябва , обема му е [tex]\frac{\pi.a^3}{2.\sqrt2}[/tex]

Интересува ни какво ще е отношението на обемитена частите отрязани от равнината.
На пръв поглед лесно можеш да тръгнеш в следната посока.

Нека същия този полуцилиндър го разгледаме вписан в триъгълна призма със основа равнобедрен правоъгълен тръъгълник, в който дефакто се вписва основата (т.е. половин паралелепиед разделен по диагонал)
От самата формула за обем следва че ако съединим един от горните върхве на призмата
със двата долни които не са негова ортогонална проекция ще получим тяло със обем точно 1/3 от цялата призма. Тоест имаме линейна зависимост =1/3

Дали зависимостта която е м/у обемите на двете части от цилиндъра, отрязани от равнината е линейна функция? Ако решиш че е така е логично да намправим аналогията
полуцилиндъра е производен на призмата с линейна зависимост м/у обемите им [tex]\frac{\pi}{4}[/tex]

Нека на последния чертеж спуснем образувателните на цилиндъра от точките на горната основа които са пресечни на нея и на диагонала на описания около нея квадрат, получаваме една равнина образувана от 2-диаметъра на двете основи и 2 образувателни. Нека прекараме перпендикуляри в двете основи на диаметрите определени от диагонала ще получим равнина съдържаща точки [tex]L;I;J[/tex][/tex]

И тук вече само предполагам зависимостта може ли да се изрази като линейна функция на беми на други тела или просто да се ползва интерграл за на миране на тялото което се получава от сечението, което ще е елипса със малък диаметър a и голям 2.LJ, наклонена спрямо основата под ъгъл, който можем да намерим.
Аз все си мисля че има линейна функция, дори да е частен случай.

[M_Velinova]

Задачата е много интересна наистина. Ето и моята геометрична интерпретация в картинка и динамичен модел. Сечението на цилиндъра с равнината е парабола с връх Е, минаваща през точките В" и D", ама засега не съм я начертала. И аз мисля, че този обем ще се изрази с интеграл.
Динамичен модел

[name01]

Мисля че съм близо до истината.
Vel, незнам сечението май вярно е парабола, ако и намерим лицето и дължината на кривата после лесно ли се смята интерграла?

Methuselah, задачата просто ми хрумна и ми се стори че всичко се решава с 2-3 сметки, но излезе че не е точно така, а пък за второто условие нещата стават още по-тегави.

[krassi_holmz]

Ако греша, поправете ме.
Това ли са дефиниращите неравенства на тялото:
[tex]-\frac{1}{2}<x,y,z<\frac{1}{2}[/tex] kuba
[tex]z^2+x^2>\frac{1}{4}[/tex] tsilindura
[tex]z + \frac{\sqrt{2}}{3} > x+y > z-\frac{\sqrt{2}}{3}[/tex] razreza?
V Mathematica si ima nachin da se nameri obema na ne6to 4rez tesi neravenstva - integrira se edna functiq Boole. Primerno sors na Mathematica za obema e:

Integrate[Boole[-1/2 < x < 1/2 && -1/2 < y < 1/2 && -1/2 < z < 1/2 && x^2 + z^2 > 1/4 && z + Sqrt[2]/3 > x + y > z - Sqrt[2]/3], {x, -1, 1}, {y, -1, 1}, {z, -1, 1}]

Pusnah q da smqta ama qvno dosta vreme 6te otneme...
Priblizitelno se polu4ava 0.11061.
Za to4niq otgovor 6e po4akam malko.[/tex]

[krassi_holmz]

Е, както и очаквах, точния отговор е направо "грозен".
Ето обема на частта с точност 1000 знака
0.11061013166757563120646583377320070673806185592939301184489366179116
9029875598280068926045634846439305809154580910911749345285191995531126
0707177558102057295927233853528267983611535012790524405135989838403494
9374051065865831993845478652866016686208835310056550322457951859763760
9274155571611196662600466085882914988318324125778295216704026405685409
1989479860732313763574249610877578473663279710678539265777084629952077
0766162456917408848192630318531027271005313780192053799370987806160352
8090031083974609974517187748092665836596489939401660385759577833478141
1952314914543171422295627733823958699946665371338028823202299207564486
9508680627430094252338497391666409589613933870215416580796273434122267
2748711055432395054659773291558109382106956899502429711761661549560399
8685682116860943883626673502045255289629838175431978128926122183858849
2132178238673343468503416300805200642780823324243839735255081327779661
9365833119151598058996686927175352960898575397100673179661568685007301
79208741456710418739917

А ето и точния отговор:

[tex]\frac{584 \sqrt{2}+2 \sqrt{-27431+35892 \sqrt{2}}-\frac{27}{2} \left(21+10 \sqrt{2}\right) \pi +27 \left(-3+10 \sqrt{2}\right) \cos ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+108 i \left(3+2 \sqrt{2}\right) \cosh ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+27 i \left(-3+10 \sqrt{2}\right) \cosh ^{-1}\left(\frac{1}{6} \left(3-2 \sqrt{2}+\sqrt{1+12 \sqrt{2}}\right)\right)+27 i \left(-15+2 \sqrt{2}\right) \cosh ^{-1}\left(\frac{1}{18} \left(5-4 \sqrt{2}+\sqrt{-87+104 \sqrt{2}}\right)\right)+162 \left(1+2 \sqrt{2}\right) \sec ^{-1}\left(9 \sqrt{\frac{1}{287} \left(271+192 \sqrt{2}\right)}\right)+108 \left(3+2 \sqrt{2}\right) \sin ^{-1}\left(\frac{1}{6} \left(3-2 \sqrt{2}-\sqrt{1+12 \sqrt{2}}\right)\right)}{1296}[/tex]

[name01]

Oh My Fucking GOD !!!
Ти сериозно ли?, къде е а-то?

[krassi_holmz]

Ми аз приемам а за единица. Ако толкова ти трябва е достатъчно най-накрая да умножиш горното с a³

[soldier_vl]

Не може да е толкова сложно решението! Задачата трябва да може да се реши по някъв нормален начин или дори и това да е начина къв е тоя отговор

[Fed]

[krassi_holmz]

Въобще няма да си играя да подхващам втората задача - за първата ми трябваше час и половина процесорно време!

[Irrefutable]

krassi_holmz , щом не ти се играе , ще се включа по втората подточка.

И понеже не ми се блъска с математика , ще вкараме груба сила и ще накараме процесора да брои "атомите" в 3д постановката ми.

При 1.25e+008 частици в куба
6.78351e+006 отговарят на условието и това е 0.0542681 част от частиците
Или отговора би-следвало да е 0.0542681*а^3

[Fed]

Отново

[krassi_holmz]

Браво браво!
Май трябва да пъхнем препратка тъм тая тема в компютърни изчисления