Триъгълник с вписана окръжност

[Methuselah]

Даден е триъгълникът АВС с r на вписаната окръжност равен на 8.
Допирателната към окръжността успоредна на АВ отсича триъгълник с радиус на вписаната окръжност равен на 8/3

а) Намерете страните на триъгълника ако лицето на триъгълника е равно на 336
б) Намерете страните на триъгълника така че лицето на триъгълника е минимално

Маркирай надолу за отговор:
Отговор на а:
а=26, б=30, с=28

[Реклама]

[Fed]

а)





За б) за сега не се сещам.

[Methuselah]

За б) получавам: Маркирай за да прочетеш:
а=б=с=16sqrt(3)

[Fed]

Получих го и аз.

p=r(cotg(α/2)+cotg(β/2)+cotg(γ/2))=rcotg(α/2)cotg(β/2)cotg(γ/2)=r/tg(α/2)tg(β/2)tg(γ/2)≥9r/√3
=>S≥9r²/√3=9.64/√3. Равенство при α=β=γ=60. =>а=b=c=16√3

Ти така ли я решаваш?

[Methuselah]

Съвсем не. Ще напиша решението си по-късно.

[Methuselah]

а)
Имаме S=pr => p=42; P=84
Ще пресметна височината по малко нестандартен начин:
Височината е равна на сбора на сходящата геометрична прогресия с а1=2.8=16 и q=1/3 (докажете сами)
h=a1/(1-q)=24
S=ch/2 => c=28
|a+b=P-c=56
|336=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)

достигам до системата:
|a+b=56
|ab=780 и се получават отговорите.

б)
имаме че r=8 и h=24
Търсим кога при фиксирана дължина на височината и фиксирана страна към височината (АВ) имаме минимален периметър. От свойството на елипсата се вижда че това се достига при равнобедрен триъгълник (АС=ВС)
S=pr=4P=12c => c=P/3
=> а+b=2P/3 и a=b => триъгълника е равностранен в височина 24 => а=b=c=16√3

[uktc]

[Methuselah]

Аз я взимам, защото отношението на с към периметъра не се променя. Първо доказвам равнобедрения и от с=Р/3 следва равностранният

[DevilFighter]

[Fed]

[uktc]

[Methuselah]

Ако имаме множество от елипси с фокуси в А и В и трябва С да лежи на права успоредна на АВ то С трябва да лежи на симетралата на АВ за минимален периметър.

[DevilFighter]

Изумен съм от това свойство, но как да го осмисля или пък да го приложа на изпит като никога не съм учил елипси. Само знам, че е частен случай на окръжността...

Все едно точките A и B са тези 2ве точки от гифчето, а C е тази точка, която се движи...

[Fed]

DevilFighter, какво използва, за да направиш тази анимация?

[uktc]

Това:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2e/Ellipse_Animation_Small.gif

[DevilFighter]

uktc го каза! Уви още не съм се специализирал в тази област(правенето на анимации)

[Fed]

И това ми беше минало през главата...

[xyz]

Това свойство на елипсата се нарича фокално свойство на елипсата (фокално - от фокус, а не фекално ). Такова свойство съществува за така наречените конични сечения, към които спадат: елипсите, параболите и хиперболите. Съответните фокални свойства са дадени, като на чертежа и те са:
- при елипсата сумата от светлосинята и червената отсечки е винаги константа - независимо от избора на точка от елипсата.
- при параболата дължините на светлосинята и червената отсечка са равни - за всички точки от параболата.
- при хиперболата (т.е. кривата с уравнение y=1/x) разликата между светлосинята с червената отсечка е константа (взимаме разликата по модул, затова се получават две части на фигурата) - отново без значение коя точка от хиперболата сме избрали.
С кръгчета сме означили специални точки, които се наричат полюси (или може би фокуси - не помня точно).
Едно друго, доста по-любопитно свойство е отражението! При елепсата, лъч излъчван от единия фокус се отразява от елипсата и отива в дригия фокус. При параболата имаме, че лъч, перпендикулярен на оста на паработа се отразява от параболата и отива във фокуса! Това е именно свойството, използвано при сателитните чинии. Успореден сноп от доста слаби радиовълни се отразява от чинията и така всичко отива във фокуса, т.е. получава се, че всичко влязло в чинията се насочва във фокуса, където е и приемника. Тези свойства са демонстрирани със зелени лъчи, на фигурата.

ПП Вие тук на чат го обърнахте, което не е никак добре...

ПП За фокалното свойство на елипсата, можете да видите българската Wikipedia (както виждам, вече някои са се ориентирали). За фокалното свойство на параболата, ще се наложи да видите английската Wikipedia. За фокалното свойство на хиперболата не мога да ви дам источник. Общо взето, тези 3 подобни по свойства фигури са описани по 3 съвършенно различни начини в Wikipedia, което прави мого лошо впечатление.