Безкрайна сума от обеми на кълба в пирамида

[Fed]

Ей тая задачка ми хареса максимално:

[Реклама]

[lpishinov]

Ехх тази задача или подобна сме я решавали в час, но непомня как стваше, мисля че основното беше, че ако редицата на радиусите е r1, r2, r3, ... , rn то два пъти сбора им клони към височината на пирамидата а от там търсим r1³+ r2³+ r3³+ ... + rn³ . Ще се радвам да видя пълно решение.

[name01]

Взимае средна равнина от 2 апотеми и средна отсечка в основата = 2а.
Нямам достъп в момента нищо за чертане, но се разбира.

От дадения ни ъгъл [tex]\alpha[/tex], имаме [tex]h=a.tg\alpha,V=\frac{4}{3}a^3.tg\alpha[/tex]
df
Радиуса r₁, на първата сфера е:[tex]a.tg(\frac{\alpha}{2})[/tex], съответно обема : [tex]V_1=\frac{4}{3}\pi.a^3.tg^3(\frac{\alpha}{2})[/tex]

Радиуса r₂, на втората сфера е:[tex]a.tg^3(\frac{\alpha}{2})[/tex],съответно обема : [tex]V_2=\frac{4}{3}\pi.a^3.tg^9(\frac{\alpha}{2})[/tex]


Радиуса r₃, на втората сфера е:[tex]a.tg^5(\frac{\alpha}{2})[/tex],съответно обема : [tex]V_3=\frac{4}{3}\pi.a^3.tg^15(\frac{\alpha}{2})[/tex]........
........
........
........


Радиуса r_n, на първата сфера е:[tex]a.tg^{2n-1}(\frac{\alpha}{2})[/tex], съответно обема : [tex]V_n=\frac{4}{3}\pi.a^3.tg^{3n^2}(\frac{\alpha}{2})[/tex]





За обемите имаме гометрична прогресия: всеки следващ се получава от предходния умножен с [tex]tg^{6}(\frac{\alpha}{2})[/tex]

[tex]S_n=\frac{1}{1-tg^6(\frac{\alpha}{2})}[/tex], би трябвало когато [tex]\alpha\rightarrow \frac{\pi}{2}[/tex], да имаме маx =

Сега изследваме:

До тук така ли сме, ако е вярно обема се стреми към горна граница

[tex]V=\frac{4}{3}a^3.tg\alpha[/tex], като тръгва от [tex]V_{1_{max}}=\frac{4}{3}.a^3.tg^3(\frac{\alpha}{2}).\pi\left(tg^6(\frac{\alpha}{2})+tg^{12}(\frac{\alpha}{2})+tg^{18}(\frac{\alpha}{2})......tg^{3.n^2}(\frac{\alpha}{2})\right)[/tex], което си ме обърква понеже ако фиксираме примерно алфа = 45 имаме

Обем на пирамидата [tex]V=\frac{4}{3}a^3[/tex], а на сумата

[tex]V_{1_{max}}=\frac{4}{3}.a^3.tg^3(\frac{\pi}{8}).\pi\left(tg^6(\frac{\pi}{8})+tg^{12}(\frac{\pi}{8})+tg^{18}(\frac{\pi}{8})......tg^{3.n^2}(\frac{\pi}{8}\right)=\frac{4}{3}.a^3.\left(tg^3(\frac{\pi}{8}).\pi.\frac{1}{1-tg^6(\frac{\alpha}{2})}\right)= WTF?[/tex]

Аз ли се бъркам или отношението е [tex]\frac{tg\alpha}{\pi.S_n=\frac{1}{1-tg^6(\frac{\alpha}{2})}}[/tex]



[/tex]

[Fed]

Писал си че [tex]S_n=\frac{1}{1-tg^6(\frac{\alpha}{2})}[/tex]

Грешката ти е че тази единица в числителя трябва всъщност да бъде V₁

и тогава търсим [tex]lim\frac{\frac{4}{3}\pi.a^3.tg^3(\frac{\alpha}{2})}{1-tg^6(\frac{\alpha}{2})}[/tex],

което след доста преобразувания добива вида [tex]\frac{{\pi.\alpha ^3 }}{3}\frac{{\sin ^3 \alpha }}{{4 - \sin ^2 \alpha }}[/tex], което е и отговора.

[name01]

Ако не те затруднява ще постнеш ли преобразуванията на граниицата, задачата е добра.

[Fed]

Ето ги и преобразуванията. Дано не съм сбъркал някъде при преписването...

[DevilFighter]

Къде ти избяга cosα от знаменателя ?

[Fed]

Да, има един cosα в знаменателя. Допусната е грешка в сборника, от който преписах преобразуванията.