AC е ъглополовяща

[r2d2]

В четириъгълника ABCD,<ABC=150; <DAC=30. Aко DA=DB, докажете че <DCA=<BCA.

[Реклама]

[DevilFighter]

Сигурен съм,че може да стане с някакви допълнителни построения и без тригонометрия. С тригонометрия става доста тегаво

[r2d2]

Ето по-кратко решение. Означаваме [tex] \angle ACB=y[/tex], [tex]\angle ACD=x[/tex]. Лесно се смята, че [tex]\angle DBC=90+y[/tex].
От [tex]\Delta ACD[/tex] имаме [tex] \frac {AD}{DC}=\frac {\sin x}{sin 30}[/tex], а от [tex]\Delta BCD[/tex] имаме [tex] \frac {BD}{DC}=\frac {\sin (x+y)}{sin (90+y)}[/tex], и понеже BD=AD [tex]\frac {\sin x}{sin 30}=\frac {\sin (x+y)}{sin (90+y)}[/tex].

Получаваме [tex]2\sin x \cos y=\sin(x+y)=\sin x \cos y + \cos x \sin y[/tex] или


[tex]\sin x \cos y = \cos x \sin y \Rightarrow \tan x = \ tan y \Rightarrow x=y[/tex].

Задачата има красиво геометрично решение! Опитайте се да го намерите!

Ако някой знае да каже, какво да направя за да не пропада така ЛАТЕХ (половин ред надолу!)

[martosss]

как доказваш, че ъгъл DBC е 90+у? То ако това докажеш си готов...

[r2d2]

[DevilFighter]

Ето за това не ми стига времето на изпита. Задачата ставала с 2ва реда

r2d2, май си означил <ACB=y , <ACD=x

[r2d2]

yes,sry ще го оправя.
Напрегни си мозъка и намери геом. решение.;
По-добре да решиш 1 задача по 10 начина, отколкото 10 по един (повечето тук това и правят, при това без успех, говоря за едно лог. уравнение!)

[cub]

ротация от т. D na 60°, получава се ▲А1CD, в който CA е медиана и височина => е и ъглополовяща. т.B принадлежи на А1C..ще опитам да направя разбираем чертеж...

[Methuselah]

ЕВАЛА!!! Браво, logmealien, добре браниш честта на школата!

[r2d2]

[xyz]

Ето и от мен едно кратко и геометрично решение (усещах, че има такова и го намерих!). Намираме симетричната D' на точката D спрямо AC. Задачата ще бъде решена, ако докажем, че точките D' B C лежат на една права.
Тъй като ъгъл DAC е 30 градуса, то триъгълника ADD' е равностранен. Тогава от условието (AD=DB) ще следва, че D е център на описаната около ABD' окръжност и за удобство ще го бележим още и с O. Тогава ъгъл ABD'=1/2 дъга AD'=1/2 (ъгъл AOD') = 1/2 (ъгъл ADD') = 30 градуса. Последното равенство е в сила, тъй като вече споменахме, че ADD' е равностранен.
И така ъгъл ABD' е 30, а по условие ъгъл ABC е 150. Получихме исканото, т.е. че D' B C лежат на една права.

ПП Докато решавах задачата и пращах решението, очевидно logmealien, го е доказал по същия начин. Моят чертеж изглежда ужасно, защото използвах оригиналния, като добавих необходимите допълнителни построения и после го записах като gif картинка.

[r2d2]

След промяната, sry an good luck!
Заклел съм се, че ще късам студенти, които са "илитерати".
Писна ми от хора от СМГ, които пишат "четЕри"!

По-добро: Петко Петков студент прек.(ъснал) II кур.

[xyz]

Ако последната критика беше отправена към мен, то искам обяснение - какво не е наред? Открих само един непълен член, който една ли е предизвикал целия отговор. Междо другото и аз ужасно се дразня от неграмотно писане, така че подкрепям подобни забележки, но само ако са основателни.

ПП logmealien, любопитно ми е, защо не спомена поне накратко, за B лежи на A₁C? Това е основната труднаст на задачата!

[cub]

чертеж

[cub]

докато писах отговора нетът спираше но като гледам вече го има обяснено....
още едно обяснение на този чертеж:
<DA1C1 = 30° по постр.
<АА1C1 = 60° + 30° => т. C1 лежи на окр. => <DA1C1 = < DC1A1 =>
DA1=DC1, но DC1=DC => т. C лежи на окр. => < AC1A1 = < AB1A1

[Methuselah]

Относно правописа: поправих "осещах" на "усещах" в поста на хуz щото просто ми ровеше в окото

[r2d2]

Според мен, нямаш право . Просто се изприщих от ужас, че съм обвинил човека напразно.

[Methuselah]

Ок няма повече