автономно диференциално уравнение

[kelly]

Как да намеря частното решение на следното автономно диференциално уравнение:

[tex](y-1)y'' = 2(y')^2[/tex]
[tex]y(0) =2[/tex]
[tex]y'(0)= -1[/tex]

[Реклама]

[Infernum]

Уравнението е автономно и е от втори ред, защото независимата променлива не участва в явен вид в уравнението, а само неизвестната функция и нейните производни до втори ред.
Поставени са начални условия, от които да се отдели частно решение от двупараметричната фамилия интегрални криви.

С въвеждането на функцията

[tex]z(y)=y'[/tex]

редът на уравнението се понижава с единица, като се изрази втората производна и се замести в уравнението:

[tex]\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(\frac{dy}{dx})=\frac{d}{dx}z=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx} =z'z[/tex]

Получава се

[tex](y-1)z'z=2z^2.[/tex]

При [tex]z\ne 0[/tex] и [tex]y\ne 1[/tex], които решения, очевидно не удовлетворяват началните условия, уравнението се преобразува във вида:

[tex]\frac{dz}{z}=\frac{2dy}{y-1}.[/tex]

Решението на това уравнение с разделени променливи е:

[tex]|z(y)|=C(y-1)^2[/tex],

[tex]C>0[/tex]

Като се вземат предвид началните условия се намира

[tex]z(y(0))=z(2)=y'(0)=-1[/tex]

[tex]|-1|=C(2-1)^2[/tex]

откъдето C=1.
Сега се интегрира уравнението

[tex]|y'|=(y-1)^2[/tex],

[tex]\frac{dy}{(y-1)^2}=\pm dx[/tex]

[tex]-\frac{1}{y-1}=\pm x + C_1[/tex]

От първото начално условие се намира

[tex]C_1=-1[/tex],

а от второто се определя единственото решение

[tex]y(x)=1+\frac{1}{1+x}[/tex]