Задача с интеграл

[kelly]

f(x) = ∫ (αx+3)³ / ( x+β)² dx

Интегралът е определен и има граници горна х и долна 0 .

Да се намерят α и β , ако правата y=8x+20 e дясно наклонена асимптота на f`(x)

[Реклама]

[M_Velinova]

f(x) = ∫ (αx+3)3 / ( x+β)2 dx

Интегралът е определен и има граници горна х и долна 0 .

Да се намерят α и β , ако правата y=8x+20 e дясно наклонена асимптота на f`(x)

[tex]f(x)=\int_0^x\frac{(\alpha.x+3)^3dx}{(x+\beta)^2[/tex]

Правим следната субституция:
[tex]x+\beta=t[/tex]

Тогава интегралът става:
[tex]\int_\beta^{t-\beta}\frac{(\alpha.(t-\beta)+3)^3dt}{t^2}=\int_\beta^{t-\beta}\frac{(\alpha.t-(\alpha\beta-3))^3dt}{t^2}=\int_\beta^{t-\beta}\frac{(\alpha^3.t^3-3.\alpha^2.(\alpha\beta-3).t^2+3.\alpha.(\alpha\beta-3)^2.t-(\alpha\beta-3)^3)dt}{t^2}=\\=\alpha^3.\int_\beta^{t-\beta}tdt-3.\alpha^2.(\alpha\beta-3)\int_\beta^{t-\beta}dt+3.\alpha.(\alpha\beta-3)^2\int_\beta^{t-\beta}\frac{dt}{t}-(\alpha\beta-3)^3\int_\beta^{t-\beta}\frac{dt}{t^2}[/tex]

Ако ти е трудно да продължиш, ще го довърша по- късно. Просто не зная какво ти е нивото на знания.

[kelly]

Благодаря много
За съжаление не се сещам как да го продължа нататък

[M_Velinova]

ОК. Утре след обяд ще го допиша.

[M_Velinova]

Продължение:


[tex]f(x(t))=\frac{\alpha^3}{2}\int_\beta^{t-\beta}dt^2-3.\alpha^2(\alpha\beta-3)(t\cancel{-\beta}+\cancel{\beta})+3\alpha(\alpha\beta-3)^2(\ln(t-\beta)-\ln\beta)+(\alpha\beta-3)^3\int_\beta^{t-\beta}d\frac1t=[/tex]
[tex]\frac{\alpha^3}{2}\left((t-\beta)^2-\beta^2\right)-3.\alpha^2(\alpha\beta-3)t+3\alpha(\alpha\beta-3)^2\ln\frac{t-\beta}{\beta}+(\alpha\beta-3)^3\left(\frac{1}{t-\beta}-\frac1\beta\right)=\\ \frac{\alpha^3}{2}(t^2-2\beta{t}+\cancel{\beta^2}-\cancel{\beta^2})-3\alpha^2(\alpha\beta-3)t+3\alpha(\alpha\beta-3)^3\ln\frac{t-\beta}{\beta}+(\alpha\beta-3)^3\frac{2\beta-t}{\beta(t-\beta)}=\\ \frac{\alpha^3t^2}{2}-\alpha^3\beta{t}-3\alpha^3\beta{t}+9\alpha^2t+3\alpha(\alpha\beta-3)^2\ln\frac{t-\beta}{\beta}+(\alpha\beta-3)^3\frac{2\beta-t}{\beta(t-\beta)}=\\ \frac{\alpha^3t^2}{2}+\alpha^2(9-4\alpha\beta)t+3\alpha(3-\alpha\beta)^2\ln\frac{t-\beta}{\beta}+(\alpha\beta-3)^3\frac{2\beta-t}{\beta(t-\beta)}=\\ f(x)=\frac{\alpha^3(x+\beta)^2}{2}+\alpha^2(9-4\alpha\beta)(x+\beta)+3\alpha(3-\alpha\beta)^2\ln\frac{x}{\beta}+(\alpha\beta-3)^3\frac{\beta-x}{\beta{x}}=\\ f(x)=\frac{\alpha^3x^2}{2}+\alpha^3\beta{x}+\frac{\alpha^3\beta^2}{2}+\alpha^2(9-4\alpha\beta)x+9\alpha^2\beta-4\alpha^3\beta^2+3\alpha(3-\alpha\beta)^2\ln\frac{x}{\beta}+(\alpha\beta-3)^3\frac{\beta-x}{\beta{x}}=[/tex]
[tex]f'(x)=\alpha^3x+\alpha^3\beta+\alpha^2(9-4\alpha\beta)+3\alpha(3-\alpha\beta)^2\frac{\cancel{\beta}}{x}\frac{1}{\cancel\beta}+(\alpha\beta-3)^3\frac{-\beta{x}-(\beta-x)\beta}{\beta^2x^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\alpha^3x+\alpha^3\beta+9\alpha^2-4\alpha^3\beta+\frac{3\alpha(3-\alpha\beta)^2}{x}+(\alpha\beta-3)^3\frac{\cancel{-\beta{x}}\cancel{-\beta^2}+\cancel{\beta{x}}}{\cancel{\beta^2}x^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\alpha^3x-3\alpha^3\beta+9\alpha^2+\frac{3\alpha(3-\alpha\beta)^2}{x}+\frac{(\alpha\beta-3)^3}{x^2}[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{f'(x)}{x}=\pm\alpha^3[/tex]
[tex]\lim_{x\rightarrow \pm\infty}(f'(x)-ax)=-3\alpha\beta+9\alpha^2[/tex]
[tex]\alpha=2;\beta=\frac{2}{3}[/tex]

[kelly]

Хиляди благодарности !

Мерси, че ми помогна и отдели толкова време подробно до ми обясниш задачата.
Благодаря още веднаж. Супер си !