CONE

[name01]

Даден е прав кръгов конус със диаметър на основата 2R и височина R,
в който са вписани правилини триъгълни призми.
Условието за вписване е: околен ръб да лежи в равнината на основата, а срещущежащата му околна стена да е с върхове лежащи на околната повърхнина на конуса и да е успоредна на основата.

Изследвайте обема на призмите като функция от R и намерета максимума.

[Реклама]

[uktc]

Добра задача... Ще я помисля.
Ти като по-голям художник, ще ми нарисуваш ли сечение на конуса с равнина, перпендикулярна на основата и неминаваща през центъра на основата? Т.е. сечението на конуса с равнината, определена от основата на призмата.

[Fed]

Задачата наистина е добра. Помня че съм я решавал преди няколко месеца. Ще я измислим.

[name01]

Uktc- ще ти дам нещо по добро чакай само да го мина през мат тайпа това са конични сечения - хипербола, парабола някакви уравнения има за тяхб дето се учат по ЛААГ 1-ви курс

[uktc]

Аз мисля, че въпросното сечение специално за случая ще е половин кръг.

[name01]

Дори да е така тове е частния случай на параболата (трябва да видя де, сега говоря наизуст.)

[uktc]

Оф не знам, не мога да си го представя, не съм чак толкова advanced в стереометрията

[name01]

И аз за това има Autocad

[uktc]

Абе докарах го до нещо, ама да видим дали ще мога да го изследвам...
a-основен ръб на призмата
П.П. Офф, грешно ми е

[name01]

В случая си прав, но ето го в общич случай:

[uktc]

Да, прав си

[uktc]

Ако разстоянието от центъра до основата до пресечницата на въпросните две равнини е d, при d->0, сечението клони към триъгълник, а при d->R, сечението клони към отсечка, т.е. разстоянието от върха на параболата до основата клони към нула.
Така че може и да стане някога половин кръгче, но определено не е винаги.
Брей, навлязохме много навътре в материята

[name01]

Пак с риск да говоря наизуст- единствения вариант това да е така, е когато равнината сече полусфера, тогава е очевидно, ако впишеш конус в полусвера можеш да се убедиш.

[uktc]

То тука само наизуст си говорим
Ако влезе някой от по-умните ще се хване за главата

[name01]

Горните криви са дъги от окръжност, долните са параболи.

От обща дефиниция:

[Fed]

За обема на призмата получавам следното:



където х е растоянието от върха на конуса до стената на призмата, която е успоредна на основата на конуса.

Намирам производната и получавам един възможен екстремум х=R/2, където би трябвало и да е максимума на обема.

[Methuselah]

[Methuselah]

[name01]

Ъъъ хиперболи са да.

Та ще ми се да намеря макс, когато в графиката на хиперболата може да се впише равностранен триъгълник, и да се изрази ногов елемент, в случая височинатаh, а h_призма ще се яви 2R-2h заради ъгъла 45^о Иначе струва ми се решението на Fed e вярно, без да съм сверил.

[Methuselah]

Никак не е трудна задачката, но нямам чертежец...
Означаваме с х височината на основата на призмата.
тогава лицето на основата е х²/sqrt(3)
Ще пресметнем радиуса на окръжността която отсича от конуса околната стена на призмата успоредна на основата на конуса. Става с подобни триъгълници:
R/R=търсения радиус/(R-x) /*** R-x е разстоянието от върха на конуса до равнината на околната стена на призмата успоредна на основата ***/
И сега имаме правоъгълник със страна 2х/sqrt(3) вписан в окръжност с радиус R-x. Една питагорова теорема:
4(R²+2Rx+x²)=(4/3)x²+търсената страна²
След кратки преобразувания получавам:
[tex]V=\frac{2x^2}{sqrt{3}}sqrt{R^2+2Rx+\frac{2x^2}{3}}[/tex]

[Methuselah]

Изобщо не трябва да си помисляш за хиперболи и параболи в тази задача

[Fed]

[name01]

Да де това е така, тази е кандидатстудентска и е най-логично така да се реши, пък и най-лесно,рационално.