Две задачи - точки лежащи на една права

[ComeBackToMe]

ЗДрвЕйте...
В4ера ми дадоха 2 зад по геометрия и за понеделник трябва на направя презентазия по тея 2 зада4и...Оба4е не сам много наясно,понеже за 1ви път ми дават такова домашно и ми трябва помощ...Ако можете да помогнете мн ще сам ви благодарна.
Ето ги и въпросните задачи:
1) Да се докаже,4е петите на перпендикулярите,спуснати от произволна то4ка до дадена окръжност към страните или продълженията им на вписан в тази окръжност триъгълник,лежат на една права.(Права на Симпсън)
2) Да се докаже,4е ако петите P1,P2,P3 На пЕРпендикулярите,спуснати от произволна то4ка Р към страните на произволен триъгълник АВС лежат на една права,то Р лежи на описаната около триъгълника окръжност.
Благодаря предварително {}

[Реклама]

[martosss]

тази права на Симпсън преди няколко дена я гледах в сборника на Коста Коларов и я реших, така че с удоволствие ще напиша решението:
Нека ▲АВС е вписан в окръжност к и О лежи на окръжността, нека ОМ, ОК и ОР са перпендикулярите от О съответно към страните АВ, ВС и АС(М, К и Р са съответно върху АВ, ВС и АС).

Ще свържем Р и К, М и Р и ще докажем, че ъгъл МРК=180° с което М, Р и К ще се озоват върху правата на Симпсън

Да отбележим, че понеже ъгъл АМО=ъгъл АРО=90°, Около АМРО може да се опише окръжност к1

Освен това ъгъл ОРС=ъгъл ОКС=90° и от тук около РСКО също може да се опише окръжност к2(има и други окръжности, но те не са ни нужни в случая)

нека да означим ъгъл ОРК=α, тогава от к2 следва че ъгъл ОРК=½дъгата ОК=ъгъл ОСК=α, но ъгъл ОСК+ъгъл ОСВ=180° и от тук ъгъл ОСВ=180-α
Да не забравяме, че по условие АВС е вписан в окръжност к и О лежи на тази окръжност, от където следва, че ъгъл ВАО+ъгъл ВСО=180(срещуположни ъгли във вписания четириъгълник АВСО) и от тук ъгъл ВАО=180-ъгъл ОСВ=α
Нека не забравяме, че АМРО е вписан в окръжност к1 от което следва, че ъгъл МАО+ ъгъл МРО=180° тоест ъгъл МРО=180-α с което получихме, че ъгъл МРО+ъгъл ОРК=180° и задачата е решена

П.С. аз съм избрал точка О върху дъгата АС от к, която не съдържа точка В, ако избереш О да е върху дъгата АВ например малко ще се промени решението

[Who_cares123456]

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Carnot.shtml
и ако ъгълът е 90° , се получава правата на симпсън

[martosss]

Втората задача се доказва абсолютно аналогично, само че този път избираме ъгъл ВАО=α и доказваме, че ъгъл ВСО=180-α с което А, В, С и О лежат на една окръжност(пак с уточнението, че О и В са в различни полуравнини спрямо правата АС, иначе решението се променя малко).
и така отново ОК, ОР и ОМ са перпендикулярите от О съответно към АВ, АС и ВС като К, Р и М лежат съответно върху АВ, АС и ВС.
АКРО е вписан в окръжност и от тук ако ъгъл КАО=α, то ъгъл КРО=180-α.
от тук ъгъл ОРМ=α
после РСМО е вписан в окръжност и ъгъл ОСМ=ъгъл ОРМ=дъгата ОМ/2=α от тук ъгъл ОСВ=180-ъгъл ОСМ=180-α и от тук АВСО е вписан в окръжност

П.С. Благодаря за чертежа

[ComeBackToMe]

ЗЛАТНИ СТЕ !!!!!!!!!!!!!! {{{}}}