Примерна тема СУ 2004г.

DevilFighter

Дадено е уравнението:

acosx + bsinx = c

a)Да се докаже, че уравнението има решение тогава и само тогава, когато (c²)/(a²+b²) ≤ 1

б) Ако α и β са две различни решения на даденото уравнение в интервала (0;2П). Да се докаже, че :
cos²(α/2-β/2) = (c²)/(a²+b²) - по услвие така пише.

A аз доказвам следното:
cos²(α/2-β/2) = (b²)/(a²+b²)

И може да се добави още по задачата ..
Да се намери sin²(α/2+β/2) = ? като функция на (a,b,c)

Реклама

ObsCure

a) Та тук е повече от очевидно,че можем да докажем неравенството посредством ограниченията,които налага получената универсална субституция(ако разгледаме уравнението по този начин,разбира се).

б)Ето едно обещаващо начало...е,ако искате да достигнете до края,по-добре се стегнете по тригонометрия,и в специалност,половин ъгълчета Laughing

Започваме да преобразуваме дясната страна на уравнението

(c²)/(a² + b²)= =(4R²sin²γ)/(4R²sin²α + 4R²sin²β)=4R²(sin²γ)/4R²(sin²α + sin²β)

Тук съкращаваме 4-ката Еровци Twisted Evil

.... И оттук нататък всичко е в ръцете на способния тригонометрик!

Колкото до това 'допълнение към задачата...ами то се знае

sin²α + cos²α = 1 =>...........

Methuselah · Пуснато на: Mon Jul 02, 2007 8:35 pm Заглавие:

Защо мислиш че съществува триъгълник със страни a,b и с?
Играеш ли шах? Ело? ЛС.

uktc · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:03 pm Заглавие:

Подточка а) не е коректно зададена.
Да разгледаме например случая a=b=c=0. При тези стойности уравнението става 0=0 и очевидно има решение. А в същото време тези числа не изпълняват условието (c^2)/(a^2+b^2) ≤ 1

Methuselah · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:07 pm Заглавие:

Защо не? това е 0/0 на нищо не е равно

uktc · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:15 pm Заглавие:

Еми точно де. Щом 0/0 не е равно на НИЩО, значи не е равно и на число, по малко или равно на 1. Нали?

Methuselah · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:26 pm Заглавие:

Не. Случаят ( а=0 и б=0 ) е изключен от условието

uktc · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:30 pm Заглавие:

Methuselah · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:39 pm Заглавие:

Защото тогава се нулира знаменателя братле нещо си изпушил....
Условието можеше да бъде дадено и така:
c^2<=a^2+b^2
Хайде сега кажи а=0 б=0 и с=0 не удовлетворява ли условието?

Methuselah · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:44 pm Заглавие:

Мисля в насока метод на допълнителния ъгъл... ени айдиъс?

uktc · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:44 pm Заглавие:

Е хубаво де. Те казват, че уравнението има решение ТОГАВА И САМО ТОГАВА, когато е изпълено условието. Еми аз показвам, че не е САМО ТОГАВА налице решение. И според мен доста убедително си го показах. 0=0, какво повече?

uktc · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:45 pm Заглавие:

Ето нещо по темата:
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=645&highlight=%ED%E0%E3%F0%E0%E4%E0

Methuselah · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:46 pm Заглавие:

Сега ще ти покажа че 0/0 < 1
0/0 = (2-2)/(4-4)= (2-2)/(2-2)(2+2)=1/4 <1

uktc · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:48 pm Заглавие:

Хайде да не започваме с глупостите Wink

Аз пък ще ти покажа обратното.
0/0=(9-9)/(3-3)=(3+3)(3-3)/(3-3)=6>1 Laughing

Methuselah · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:53 pm Заглавие:

Ти почна с глупостите! Как може да вземеш примерно а=б=с=0 ... задачата си е коректна

uktc · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:56 pm Заглавие:

Взех точно a=b=c=0, защото иначе нямаше да е интересно Wink

Methuselah · Пуснато на: Tue Jul 03, 2007 2:59 pm Заглавие:

Да. да делиш на нула винаги е интересно :/ хайде стига че наспамихме темичката.

Methuselah · Пуснато на: Mon Jul 09, 2007 12:19 pm Заглавие:

Нека имаме правоъгълен триъгълник с катети a, b , хипотенуза m и ъгъл β.
a=m.cosβ ; b=m.sinβ
mcosβsinx+msinβcosx=c
msin(x+β)=c
За да имаме решение трябва c ≤ m ; c/m≤1 ; c²/m²≤1
Но m²=a²+b²
c²/(a²+b²)≤1
Това ми е идеята. За отрицателните стойности трябва да се доизпипа с модули.

uktc · Пуснато на: Mon Jul 09, 2007 12:47 pm Заглавие:

cub · Пуснато на: Mon Jul 09, 2007 12:51 pm Заглавие:

uktc тъкмо тръгнах да пиша същото Smile

мисля, че това е най-разумният начин за решаване на а)

name01 · Пуснато на: Mon Jul 09, 2007 1:05 pm Заглавие:

Мда, това е най-доброто решение и според мен.

Methuselah · Пуснато на: Mon Jul 09, 2007 1:28 pm Заглавие:

Така де.. метод на допълнителния ъгъл Smile

xyz · Пуснато на: Mon Jul 09, 2007 2:18 pm Заглавие:

Ето една геометрична идея:
Точките (cos x, sin x) образуват в равнината окръжност.
Точките (a.cos x,b.sin x) образуват някаква елипса.
Точките (x,y), за които x+y=c образуват права перпендикулярна на ъглополовящата на първи квадрант. Освен това, очевидно е, че точките (0,c) и (c,0) принадлежат на тази права.
В задачата се търси, за кои точки a,b,c правата и елипсата се пресичат. Тъй като е трудно да се отговори, то да разгледаме изображението:
(x,y) -> (x/a,y/b)
То очевидно изобразява елипсата в окръжност с радиус 1. Освен това имаме, че правата се изобразява в права, минаваща през точките X:=(0,c/b) и Y:=(c/a,0). Ако означим с O центъра на координатната система, то окръжността пресича правата т.с.т.к. височината h от O към XY е по-малка от 1. Сега остава да напишем лицето на триъгълника по 2 начина:
4S^2=XY^2.h^2=(XO^2+OY^2).h^2=((c/a)^2+(c/b)^2).h^2
и очевидният:
4S^2=((c/a)(c/b))^2
Приравнявайки намираме h:
h^2=((c/a)(c/b))^2 / ((c/a)^2+(c/b)^2)
откъдето условието h =< 1 се преобразува до искания резултат.