задача давана на изпит в ВВИСУ

[*UKTC*]

За кои стойности на параметъра k уравнението има единствен корен

lg(2x ²-3kx-k²+k+6)=lg(x²-kx-k²+k+3)

[Реклама]

[name01]

[tex]lg(2x^2 - 3kx - k^2 +k+6)=lg(x^2-kx-k^2+k+3)[/tex]

[tex]lg\frac{(2x^2 - 3kx - k^2 +k+6)}{(x^2-kx-k^2+k+3)}=lg1[/tex]

[tex]lg(\frac{x^2-2kx+3}{x^2-kx-k^2+k+3}+\frac{x^2-kx-k^2+k+3}{x^2-kx-k^2+k+3})=lg(1)[/tex]

[tex]lg(\frac{x^2-2kx+3}{x^2-kx-k^2+k+3}+1)=lg(1)[/tex]

Проверяваш DM:

[tex]\frac{x^2-2kx+3}{x^2-kx-k^2+k+3}=0[/tex]


[tex]x^2-kx-k^2+k+3 \neq0 \Rightarrow x^2-2kx+3 = 0[/tex]

Само това се сещам за момента, намям време да я проверя.

[Fed]

Малко странни числа получавам и сигурно не е вярно, но нямам време да проверявам.

[r2d2]

[Fed]

Може би е по-точно да се каже, че не ми се проверява.

Дано и някой друг да постне решение и да сравниме тогава отговорите.

[maia]

Получавам к=±√3, при ДМ-4,12), проверката го доказва

[*UKTC*]

И аз получавам к=±√3 но ДМ нещо не мога.
maia покажи как получаваш ДМ-4,12),

[r2d2]

Колко корена има уравнението:
[tex]\lg (2x^2-6x+4)=\lg(x-1)^2[/tex]

[ScorpioFlight]

един корен х=3....нали

[r2d2]

Точно така уравнението има само 1 корен и значи k=2 е от търсените стойности на параметъра.
Май досега никой не го е получил?

[Fed]

r2d2, при к=2 уравнението, което *UKTC* е дал става

lg(2x²-6x+8)=lg(x-1)², което вече няма реален корен.

[r2d2]

Eдин от нас не може да смята!

[Fed]

Едно к² не съм видял. Извинявайте.
Ще опитам пак да реша задачата, защото наистина к=2 е решение.

[r2d2]

Добре, постоянно ще питам как се решава?

[omeganet]

В този късен час получих отговор
[tex]k \in \left\{ {\sqrt 3 } \right\} \cup \left[ {2; + \infty } \right)[/tex]

[Methuselah]

Напиши решение

[Fed]

Аз пък получавам:

[tex]k \in \left( { - \infty , - 2} \right) \cup \left[ {2, + \infty } \right) \cup \left\{ {\sqrt 3 } \right\}[/tex]

[omeganet]

[tex] \lg \left( {2x^2 - 3kx - k^2 + k + 6} \right) = \lg \left( {x^2 - kx - k^2 + k + 3} \right) \\ 2x^2 - 3kx - k^2 + k + 6 = x^2 - kx - k^2 + k + 3 \\ x^2 - 2kx + 3 = 0 \\ D = 4(k^2 - 3) \\ 1.)D > 0 \Leftrightarrow k \in ( - \infty ; - \sqrt 3 ) \cup (\sqrt 3 ; + \infty ) \\ x_{1,2} = \frac{{2k \pm 2\sqrt {k^2 - 3} }}{2} \\ x_1 = k - \sqrt {k^2 - 3} \\ x_2 = k + \sqrt {k^2 - 3} \\ g(x) = x^2 - kx - k^2 + k + 3 \\ 1.1.) \\ \left| \begin{array}{l} g(x_1 ) > 0 \\ g(x_2 ) \le 0 \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow \left| \begin{array}{l} k - k\sqrt {k^2 - 3} > 0 \\ k + k\sqrt {k^2 - 3} \le 0 \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow k < - 2 \\ 1.2.) \\ \left| \begin{array}{l} g(x_1 ) \le 0 \\ g(x_2 ) > 0 \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow \left| \begin{array}{l} k - k\sqrt {k^2 - 3} \le 0 \\ k + k\sqrt {k^2 - 3} > 0 \\ \end{array} \right\rangle \Rightarrow k \ge 2 \\ 2.)D = 0 \\ k = \pm \sqrt 3 \\ [/tex]
Проверяваме и установяваме, че само [tex]k = \sqrt 3[/tex] е решение
Окончателно получаваме: [tex]k \in ( - \infty ; - 2) \cup \{ \sqrt 3 \} \cup [2; + \infty )[/tex]

[r2d2]

Това наистна си е решение!

[nikoleto]

Решението е хубаво, но например за К=10 задачата няма решение. Получените отговори за к трябва да се съобразят просто с допустимите стойности за к така както го е намерил Fed. А и това g(x) не е ли недостатъчно, защо не се разглежда и f(x) = другия израз в първия логаритъм! Все пак x1 може да удовлетворява g(x1)>0, но може да не удовлетворява f(x1)>0..все пак това трябва да се изясни защото поне така написано не си личи!
Не е ли по правилно
f(x1)>0
g(x1)>0 или обратното!
f(x2)≤0
g(x2)≤0
...

[Methuselah]

ЗА ВСЯКО ХИКС?
Нека помислим глобално върху решаването на задачата.
Първи въпрос:
Защо търсим дефиниционно множество?

[Fed]

[nikoleto]

Чакайте че се обърках с онова ВСЯКО ХИКС

[Methuselah]

[Methuselah]

Това което правим в задачата е:
Нека записваме за по-кратко уравнението lg f(x)=lg g(x)
Махаме логаритмите и получаваме уравнението f(x)=g(x)
За да е решение на началното уравнение едно число-х1, то трябва:
1) да е решение на f(x)=g(x)
2) да удовлетворява или f(x1)>0 или g(x1)>0
Това "или" идва от това че щом х1 е решение на f(x)=g(x) то f(x1)=g(x1)

За това може да работим в решението си само с g(x) защото вече сме казали че е равно на f(x)

Кога имаме единствен корен ни питат в задачата:
1) когато уравнението f(x)=g(x) има единствен корен x1 и той удовлетворява g(x1)>0 /респективно f(x1)>0 - eдно и също е/

2) когато уравнението f(x)=g(x) има два корена х1 и х2 и само един от тях удовлетворява g(x1)>0 /респективно f(x1)>0 пак е едно и също/
Т.е.
| g(x1)>0
| g(x2)≤0
обединено с
| g(x2)>0
| g(x1)≤0

Дано така е станало по-ясно

[nikoleto]

Добре съгласен съм с теб, вече ще мисля повече от 3 мин. когато поствам нещо

[Methuselah]

А ти прочете ли изобщо какво написах?! Не разбра ли че е едно и също f(x1) и g(x1) ?! Нали х1 е решение на уравнението f(x)=g(x)

[nikoleto]

Офф еми ти па много бързо го написа и тъкмо си пратих мойто и видях че и ти си писал