Патица и лисица - интересна задача!

[OliGoFren]

Здравейте,
Наскоро бях видял тази задача, ако не се лъжа в този форум беше, ама загубих линка и сега търся, търся - и не мога да го открия! Ето задачата:
Патица седи в средата на езеро, чийто бряг има форма на окръжност (тоест в центъра на окръжността). Лисица, която не може да плува я дебне на брега, за да я изяде. Ако патицата отлети - спасява се. Патицата обаче не може да отлети от водата - трябва да е стъпилна на суша, за да отлети. Пита се при какво отношение на максималната скорост на бягане на лисицата по суша и максималната скорост на плуване на патицата във водата патицата няма шанс да се спаси.
Аз го смятах и го изкарах Pi+1. С Pi означавам добре известното число Pi - отношението на дължината на коя да е окръжност към нейния диаметър. Вие как мислите?
Ако някой ми даде линк за онази нишка, в която се разглеждаше този въпрос, ще съм му благодарен.

[Реклама]

[OliGoFren]

Намерих ги линковете! Оказа се, че не били в този форум. Ето ги:

http://clubs.dir.bg/showflat.php?Cat=122&Board=logistics&Number=1947457216&page=0&view=collapsed&sb=5&part=all&vc=1

http://clubs.dir.bg/showflat.php?Board=mathematics&Number=1947455473&page=0&view=collapsed&sb=5&vc=1

[Volen Siderov]

pr/v<r/V sled:

v/V>p p towa e `isloto pi

[OliGoFren]

Отговорът не е Pi! Задачата не е тривиална. Граничната скорост на отношението на скоростите не е по-малка от Pi+1. Вижте линковете, които съм дал - там пичовете са коментирали по задачата.

[Volen Siderov]

Много добра задача в новата светлина в която я представяш.За съжаление все още не мога да я реша.Почти съм убеден обаче че решението п+1 което даваш не е вярно.

[OliGoFren]

Не е вярно, да! Ха-ха! Змея, Огнедишащия я реши, брей! Около 4,6 е стойността. Вижте линковете, които съм дал и ще видите решението.

Ама Волене, Сидеров, то и твоето решение не беше вярно, така че няма какво да ми се правиш...
Присмял се хърбел на щърбел!

[xyz]

Изобщо казано, прочетох малко от dir.bg, но определено мога да кажа, че в случая на задачата не става въпрос за стратегия, а за най-оптимално решение. Нещата трябва да се доказват, а не да се предполагат.
С тази цел, ще дам една фигура. Ситуацията при нея е, че лиса са намира най-отдолу. Ако приемем, че патицата има право да стигне единствено до сините "пристанища", то тогава ако е в синята окръжност, то трябва да се ориентира към пристанището с плътната стрелка, иначе към другото. Аналогична е ситуацията и с червените пристанища. Ще отбележа, че съвсем случайно всичка окръжности изглеждат с еднакъв радиус.
Тези окръжности съм ги поставил, не на око, или с компютърни изчисления. Използвал съм, че множеството от точки, които са в съотношение m:n от две фиксирани точки е окръжност, която може да се построи по определен начин. Това е добре известна задача.

[Volen Siderov]

Не целя нито да се присмивам нито да се изтъквам.Просто в този форум с непознати обсъждам напълно свободно интересни теми без други емоции
Набързо разгледах посочения адрес но не видях удовлетворително решение.

Според мен рещението на задачата изисква поне 2 вида движение на патката(приемаме, че най изгодно за лисицата е да се движи с макс. скорост).
1 движение е това,което олигофрен изтъква,а именно патката постоянно да държи лисицата и центъра на 1 права, а останалата част от движението да отива за движение по радиуса.Това всъщност е движение с постоянна ъглова скорост w0=V/R=u/r0

V-скорост на лиса,u-скорост на патката,R-радиус на окръжността,r0-макс. радиус на патката позволяващ да държи лиса точно зад центъра.

Ако след това патката цепи направо по радиуса то имаме:

ut/Vt=u/V=(R-r0)/R=(R-uR/V)/R t.e. u/V=1/(1+pi)

интересно е да се намери у-то на движение на патката докато се движи с ъглова скорост w0:

dr=u(en)dt

u(tau)=w0r

u^2=u(tau)^2+u(en)^2 u(en),u(tau)-съответно нормална и тангенц. компонента на цкоростта u

тогава u^2=(w0r)^2 + (dr/dt)^2
рещението на това у-ие е
r(t)=r0sin(w0t+f0)

т.е. патката се върти със ъгловата скорост на лисицата и се придвижва по радиуса r по този закон.


След това ти предполагаш че петката цепи направо по радиуса но според мен това може и да не е вярно.
Според мен мен трябва да се разгледа общият случай.Т.е. патката може да се движи по радиуса или по друга права или по някава друга крива (вид спирала или др.)

Как да стане това се определя от условието че отношението на изминатото разтояние по радиуса от патето към изминатото разтояние по окръжността от лиса трябва да е мксимално и по голямо от 1/(1+pi)

dr/dS-max

този случай не знаем точно движението затова взимаме общия случай на движение с променлива ъглова скорост w(t)
тогава

dS=RdF=R(w0-w(t))dt

dr=u(en)dt=ucos(a) dt

w(t)=u(tau)/(r0+r)=usin(a)/(r0+r) a=f(t)-ъгъла м/у тангенц и норм. комп.

тогава

dr/dS=ucosa/R(w0-usina/(r+r0))=ucosa/V(1-r0sina/(r0+r))

Най изгодно за патката е движение при което това отношение е максимално т.е. трябва да му се намери производната=0
тъй като r=g(t) a=f(t) то следва че r=j(a) и може да се търси производна по d/da

d/da(dr/dS)=-(uVsina - uVr0sinasina/r+r0 - uVr0cosacosa/r+r0 +uVr0sinacosa (dr/dt)/(r+r0)^2 /V(1-r0sina/r+r0 =0



sina (r+r0)^2 -r0(r0+r) + r0sinacosa dr/dt=0

това у-ие дава точно начина на най-изгодно движение но не мога да го реша

[Volen Siderov]

Т.е. решението на у-то:


sinx y^2 - roy +r0sinxcosx y`=0

тук май ще трябва да си каже тежката дума Infernum

[OliGoFren]

Абе там хората са го решили. Решават се едни прости дифернциални уравнения и готово. Волене, тези деф. у-ния, кито предлагаш са по-сложни. Защо да решаваме сложни, след като можем да минем и с прости? Може би не си прочел страниците, към които водят двата линка, които съм посочил. Там е решено, по-точно втория линк. Траекториятя, по която патката се движи,за да излезе на орбита е в полярни координати: ro=(R/k)*sin(fi).
ro - радиус,
fi - ъгъл,
R/k - радиус на орбитата.

[Volen Siderov]

Не не.
Както съм посочил у-то на траекторията по която излизаш на вътрешната окръжност е точно тази която и ти посочваш.Това е ясно.Проблема от тук нататък е да се намери траекториятя(съответно у-то) по която се движи от равновесното сястояние (с радиус r0=Ru/V) до пълното излизане от окръжността.Аз намирам начин да поставя обосновано условие как да стане това и съответно да го запиша математически.Смятам че това е верният път,а другото е просто предположения.Интересно дали някой ще намери условие как да се придвижи патицата най-изгодно без това да води до полученото от мен у-е.Бих са радвал да дискутираме по рещението на задачата.Също ми хрумна че всяка от предложените траектории може да се провери дали е най-изгодната просто като се замести у-то и' в условието за екстремум което съм посочил.

[Volen Siderov]

Прочетох стратегията на огнедищашия змей за допирателната.Но не видях какви аргументи да защитеват точно тази траектория.Той казва че това било очевидно но аз не съм съгласен.Прочети внимателно поста с рещението.Там има един тънък момент,който рещава този проблем:

Най-изгодна траектория в втората част от движението е тази при която отношението на изминатия по радиуса път за еденица време към частта от полуокръжността с която лисицата е настигнала патката е максимална.
За да поясня още малко след излизане от безопасната вътрешна окръжност патката трябва да рискува да я настигнат малко за сметка на това че тя ще се придвижи напред по радиуса.Как да стане това е лесно:търсим максималната стойност на това отношение.
Това е.Колкото да предположения аз лично смятам че траекторията на патката сигурно е следната:от равновесно с-ие със цялата скорост насочена по тангента тя плавно променя посоката на скоростта и в крайния момент преди да излезе от окръжността тя вече е успоредна на радиуса

[OliGoFren]

Траекторията във втората част на играта трябва да е права линия очевидно. Това беше написал Огнедишащият Змей, и аз съм съгласен с него. Защо е очевидно? Амо просто защото правата линия е най-краткото разстояние между две точки. След излизане на орбита има две крайни положения на точката, в която патката излиза на брега - по радиуса, и по тангентата, и безброй много между тях. Та оптималната следва да се търси измежду тях. Получава се една функция там, за която се определя максимума в съответния интервал - получава се, че по тангентата е оптималната траектория на патката. Това е.

[Volen Siderov]

Не не е това.Извода че понеже патката тръгва от определена точка и финишира в друга точка съвсем не означава че трябва да се движи в права линия м/у тях.Защо тогава не приложиш този извод и за първата част от траекторията?Този подход те забива в разсъждения кой е по умен патката или лисицата.Тази стратегия се основава на това че патицата надхитря лисицата която вместо да измине път около пи/2 + изминава път около 3пи/2 -.Защо в разсъжденията не замениш патката с лисицата така че лисицата да има крайната дума накъде да тръгне ако патицата тръгне нанякъде?
И накрая предлагам щом имаме такава проста лисица патката да се движи не по допирателната ами направо да почне да се движи към началната точка на лисицата а оная да прави пълен кръг

[OliGoFren]

Волене, не си разбрал задачата. Няма такова нещо като глупава лисисца. Това е стратегическа игра. Трябва да се намери стратегия за патката, която и гарантира сигурно спасяване при възможно най-неизгодно за патката движение на лисицата. Това значи, че се предполага, че и патката и лисицата са безкрайно умни. Стартегията има две части. В първат целта на патката е да държи лисицата в задна проекция. Това не може да стане ако тя се двицжи праовлинейно. Във втората част целта е да стигне брега, но така че преди в същата точка да е стигнала лисицата. Ако прочетеш внимателно какво е обяснено там в dir-а, ще разбереш за какво говоря. Много просто се показва, че една стратегия, във втората част на която патката не се движи праволинейно, е по-лоша от праволинейната стратегия. Защото във втората част патката на може да държи лисицата в задна проекция. Колкото повече криволичи, толкова повече си усложнява живота. Защото лисицата се движи по най-краткия път към патката и патката няма време за губене. И какво ще стане, ако лисицата достигне до челна проекция преди патката да е стигнала до брега. Тогава, каквото и да е движението на патката в несигурната област, лисицата винаги може да се движи така че да остава в челна проекция и тогава за патката няма спасение.
Задачата е да се намери граничната стойност на показателя. Какво значи гранична стойност на показателя? Това е стойност, такава, че за всяка реална стойност на показателя, по-малка от нея, съществува стратегия (поне една) за движението на патката, при която тя се спасява, каквото и да е движението на лисицата. И за всяка реална стойност на показателя, по-голяма от граничната, не съществува стратегия (нито една) за движението на патката, при която тя се спасява, каквото и да е движението на лисицата. Тоест за стойности на показателя, по-големи от граничната, патката няма шанс да се спаси, както ида се движи, при условие, че стратегията на лисицата е оптимална (тоест максимално най-неизгодна за патката). Разбира се, че ако лисицата играе по някаква неизгодна за нея стратегия (стои на едно място например), то патката имна шанс да се спаси и при стойности на показателя, по-големи от граничната. Ако лисицата стои, например, то патката се спасява при какъвто и да е краен показател. Но не за тези случаи се пита в задачата, а за тези, при които лисицата се движи оптимално.

Разбира се тук идват и други уместни въпроси. Например:
1. Коя стратегия за лисицата е оптимална за нея. Аз мисля, че отговорът е тази, която е най-неизгодна за патката.
2. А какво ще стане, ако показателят е равен точно на граничната стойност. Задачата не се занимава с този въпрос. Все пак в този случай патката и лисицата ще стигнат брега едновременно и резултатът е неопределеност. Неоперделеност, понеже е писано, че на патката не и е нужно време, за да отлети. Тоест тя отлита в момента, в който стъпи на брега. Е, тогава не може да се каже кое събитие ще настъпи по-рано - отлитането на патката или залавянето на патката от лисицата. Разбира се, в една реална ситуация на патката ще и трябва някакво, макар и малко време, за да отлети, и тогава е ясно, че тя ще бъде изядена.

А виждам, че не си прочел и условието на задачата.

>> "Защо в разсъжденията не замениш патката с лисицата така че лисицата да има крайната дума накъде да тръгне ако патицата тръгне нанякъде?"

Условието е, че и лисицата и патицата могат да се движат накъдето си поискат и да сменят скоростта си внезапно, когато си поискат (и по големина, и по посока), включително и в отговор на промяната на скоростта на противника. Единственото ограничение е да не превишават съответно разрешените им максимални скорости.

Прочети условието, прочети и решенията, които са дали другите, и тогава обяснявай колко били погрешни чуждите решения. Нека ти припомня, че досега само обясняваш колко погрешно е решението на Огнедишащия Змей, но не си предложил по-добро от неговото!

[xyz]

[Volen Siderov]

Много я забатачихме тая задача.В предния си пост не дадох добри аргументи с/у твоята стратегия(на Олигофрен).Сега искам да дам един според мен добър аргумен.Действително всяко криволичене на патката(т.е. не права линия)на пръв поглед води до забавяне на това не е точно така.Това важи само ако крайната точка на движение на патката е в онази част от окръжността в която траекторията на патката(правата) не пресича нейната собствена вътрешна окръжност!!!!Ако обаче се окаже че най добре за патката е да излезе в точка например до задната проекция където е лиса в началото?Как да стане това?Не може по права линия защото лисицата веднага ще промени посоката и ще я пресрешне.А защо се налага да излезе там?Ами защото например удължението на траекторията и се компенсира от удължението на траекторията на лисицата.Това естествено не е строг математически аргумент но показва принципна възможност различна от твоите изводи.Накрая смятам че най вярно е да се придържаме в/у следния начин на разсъждение:ТРАЕКТОРИЯТА НА ПАТКАТА Е ТАКАВА ЧЕ ВЪВ ВСЕКИ ЕДИН БЕЗКРАЙНО МАЛЪК ОТРЯЗЪК ОТ ВРЕМЕТО ТЯ ДА Е НАЙ-ИЗГОДНА ЗА НЕЯ.Това се определя от отношението на придвижването по радиуса към разтоянието с което лиса я е настигнала по полуокръжността.Това може да е права или крива.Но това отношение взето предвид във всеки момент от движението е правилното.Защото накрая ще имаме сума(интеграл) от най-изгодни безкрайно малки траектории.Това и съм написал в моя вариант на речение на задачата.Във всички други варианти се прави опит за такова изчисление ,но се взима предвид само началното и крайно положение на патката.Според мен това не е точно.

[xyz]

Обмисляйки задачата, стигам до заключението, че траекторията извън малката окръжност наистина е права, но не е:

[OliGoFren]

Няма да споря с хора, които не могат да разберат условието на задачата.

Само едно ще кажа:
xyz, ъгълът α, така както го дефинираш, доколкото разбирам е ъгъл АОD, където:
А - точка, в която патката излиза на орбита;
О - център;
D - точка, в която патката достига брега.

По стратегията на Огнедишащия α = arccos(1/k). Можете и сами да си го сметнете. Никой никъде не е твърдял, че α = pi/2 (или 90^о). Писано е, че ъгъл OAD e pi/2. Мързи ви да четете, ей!

[xyz]

[Volen Siderov]

Май трябва да продължим тази дискусия.Все пак бихте ли си направили труда да коментирате защо и двамата решавате че траекторията на патката е права.Нека от тук нататък някой ясно и аргументирано да защити това становище.Но нека да има предвид следното:
1 Не се знае предварително в коя точка от окръжността се срещат двете животинки



2 Трябва да допуснем че те може да се срещнат в произволна точка от окръжността(изпълнявайки условието за максимална разлика м/у изминатие от тях път)



3Ако тази точка се намира при ъгъл а>п/2 тогава какъв е вида на траекторията?

Накрая ми е интересно защо се чудим и маем как да се движи патката като може лесно и елементарно да се запише условието dr/dS=max.
xyz го е направил в предниоя си пост, но за съжаление не е съобразил че трябва да го запише в дифер. вид и съответно решението не е вярно.

[Volen Siderov]

Нека да използваме условието за максимално отношение на преместването по радиуса към преместването на лиса по окръжността(обаче не абсолютното а спрямо петата на правата патица-център)

dr/dS=ucosa/V(1-r0sina/r(t))


поради зависимостите

dr=ucosa dt

usina=r(t) w(t)

както вече писах.
Сега вместо да търся решение на уравнението d/da(dr/dS)=0 което е трудно,ще намере решенията му за две точки:
(1) r(t)=r0 т.е когато патето напуска вътрешната окръжност


(2) при r(t)=R т.е. когато патето излиза на брега на езерото

===========================
Имаме при (1)
ucosa dt=dr

usina=r0 w(t)

d/da(dr/dS)=d/da(ucosa/V(1-sina))=0

sina=1 a=п/2

При (2) имаме

ucosa dt=dr

usina=R w(t)

d/da(dr/dS)=d/da(ucosa/(V - usina))=0

sina=u/V

Много изненадващ резултат(за мен )
Ако направим един чертеж на задачата при траектория на патката по допирателната както Олигофрен/змея твърдят лесно се вижда че въпросната допирателна дава същите ъгли в тези две точки.

Или май се оказва че вие сте прави момчета
Все пак ще кажа че даденото от мен рещение дава същата траектория но не в явен вид.

И накрая все пак ще си запазя правото да помисля дали пък това непременно означава доказателство че траекторията е точно допирателна.

[Volen Siderov]

Вече се убедих,че допирателната е вярната стратегия.Ето според мен правилните аргументи за това:

В предложеното от мен решение правя една съществена грешка.При търсенето на макс. на dr/dS неправилно допускам че той зависи и от радиус вектора r(t).Напротив за произволна точка от траекторията в дадан момент t1 и с р. вектор r(t1) максималното отношение dr/dS зависи само от направлението на скоростта u т.е. от ъгъл а.
Тогава няма да се стига до сложното диф. у-ие(което е грешно) а просто до:


d/da(dr/dS)=0

-usina V(1-r0sina/r) - ucosa V(-r0cosa/r)=0


sina=r0/r

dr(t)=ucosa dt=u sqrt(1-r0/r(t)) dt с решение r(t)^2=r0^2 + (ut)^2

това съответства на движение по допирателната ,но има и други възможности.За да определим точно коя ще намерим ъгъла на който се завърта патето докато достигне брега.

dG= w(t) dt

w(t)=usina/r(t)=ur0/r(t)^2=ur0/(r0^2+(ut)^2)=w0/(1+(wot)^2)


dG=w0 dt/(1+(wot)^2)



G=arctgw0t w0t=G


да но това е същия ъгъл на който се откланя лиса ако гони патето а то се движи по допирателната.

[name01]

Честно казано не успях да проследя цялата тема, но ми е интересно какъв е отговора в крайна сметка?

[xyz]

За момента решение няма, защото OliGoFren още не ми е казал пълните аргументи на решението (а и самият той ги е приел на доверие). Иначе накратко:

Относно, защо траекторията е отсечка, то аргументите са следните. Извън малката окръжност ъгловата скорост на лисицата е по-голяма от тази на патката. За да изяда лисицата патката, то е необходимо ъгълът патка център лисица, да е 0. Затова очевидно най-добрата стратегия на лисицата е да намаля този ъгъл. Накъдето и да се движи патката (извън малката окръжност) този ъгъл ще намалява, а лисицата ще се движи в една посока с максимална скорост, разбира се.
Патката трябва да излезе от някоя точка от външната окръжност. Ако времето за достигането й - при движение по подходяща траектория - от това при което лисицата ще я достигне, то паката губи (живота си). Тъй като стратегията на лисицата е ясна и не зависи от поведението на патката, то и патката трябва да има поведение, което да не зависи от лисицата, т.е. целта й е да достигне до указаната точка най-бързо.

[name01]

Патката просто е преебана при всички случаи, така го разбирам.