Равнобедрен правоъгълен

[Fed]

Триъгълникът ABC е равнобедрен и правоъгълен. Върху хипотенузата му AB са дадени точки М и N, такива че AM²+BN²=MN².

a) Да се намери <MCN.
б) Да се намери <CMN, така че отношението MN/AB да е най-малко.

[Реклама]

[Tony_89]

На а) получих 45°, а на б) 67,5°

[Fed]

[Tony_89]

След някъде час ще мога да го напиша

[Fed]

[Methuselah]

http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=1062 втората задача.

[Fed]

Хубаво решение, но доста нестандартно...

[Methuselah]

Ето ти жокер за друго решение:
направи ротация на 90 градуса около т.С.

[Tony_89]

Нека AC = BC = a
Нека <CMN = α, <CNM = β, <MCN = γ

а)

CM² = a² + AM² - 2*a*AM*cos(45°) =

= a² + AM² - √2*a*AM

CN² = a² + BN² - √2*a*BN

CM² + CN² = 2*a² + AM² + BN² - √2*a*AM - √2*a*BN =

= 2*a² - √2*a*AM - √2*a*BN + MN² =

= √2*a*(√2*a - AM - BN) + MN² = AB*(AB - AM - BN) + MN² =

= AB*MN + MN² = AB*MN + CM² + CN² - 2*CM*CN*cos(γ)

2*CM*CN*cos(γ) = AB*MN

CM/sin(45°) = a/sin(180° - α)

CM = a/(√2*sin(α))

CN = a/(√2*sin(β))

2*CM*CN*cos(γ) = a²*cos(γ)/(sin(α)*sin(β))

MN/sin(γ) = CM/sin(β) = a/(√2*sin(α)*sin(β))

MN = a*sin(γ)/(√2*sin(α)*sin(β))

AB*MN = a²*sin(γ)/(sin(α)*sin(β))

Излиза, че sin(γ) = cos(γ), γ E (0 ; 90°) =>

=> γ = 45°

б)

AB = √2*a

MN = a*sin(γ)/(√2*sin(α)*sin(β)) = a*sin(45°)/(√2*sin(α)*sin(β)) =

= a*/(2*sin(α)*sin(β)) =>

=> MN/AB = 1/(2*√2*a*sin(α)*sin(β)) =>

=> MN/AB ще има минимална стойност, когато sin(α)*sin(β) има максимална.

sin(α)*sin(β) = sin(α)*sin(135° - α) = (1/2)*(cos((2*α - 135°)/2) - cos(135°/2)) =>

=> (sin(α)*sin(β))_max се достига при cos((2*α - 135°)/2)_max, т.е. при

cos((2*α - 135°)/2) = 1

(2*α - 135°)/2 = k*360°

α = 135°/2 + k*360° =>

=> α = 135°/2

[Fed]

Methuselah, с ротацията става наистина доста лесно...
Tony_89, благодаря ти за решението.

[r2d2]

Още малко по тази задача:
Ако окръжността през т. С, M и N пресича АС в Р и ВС в Q, докажете че АР+ВQ=PQ.

[DevilFighter]