ШУ-10.04.2005

[DevilFighter]

2зад. Даден е равнобедрен трапец ABCD (AB||CD). В него е вписана окръжност с радиус 5 см.
а) Да се намери AB*CD = ?
б) Ако разстоянието между допирните точки на вписаната окръжност с бедрата на трапеца е равно на 8 см, да се намерят дължините на АB и CD.

Намирам AB*CD = 25; AB+CD = 25/4

Мисля, че има някавка грешка в задачата, за това я пускам, за да кажете вие мнение.Иначе не е трудна хич.Още в отговорите на б) се вижда че произведението не е 25, а сумата на основите е 25...

Дадените отговори са: а) 25 б) AB = 20, CD = 5

[Реклама]

[Fed]

За а) получавам АВ.CD=100

[Fed]

За б) получавам, че AB=20 и CD=5 или AB=5 и CD=20

[DevilFighter]

Открих си грешката (бях написал, че височината на трапеца е 5см). Получава се AB*CD = 100 ; AB+CD = 25

Ето още една задача от тази тема:

Основата на пирамидата SABC е правоъгълен триъгълник ABC (<ACB = 90°) с периметър равен на 2p и ъгъл при върха А равен на α. Ако околните ръбове на пирамидата сключват с равнината на основата ъгли равни на γ, да се намерят:
а)обема на пирамидата
б)синусът на ъгъла, който ръба SC сключва с равнината (ABS).

[Fed]

Добра идея. Утрото е по-мъдро от вечерта. А и задачата е доста лесна, както сам каза.

[martosss]

може ли да дадете едно подробно решение ? моето е малко заобиколно и не мога да се сетя за по просто:
Нека ОН е перпендикулярно на АВ(Н е върху АВ) и ОМ перп. на СД(М е върху СД). Имаме, че АО и ДО са ъглополовящи и от ъгъл ОАД+ъгъл ОДА=1/2*(ВАС+АДС)=1/2*180=90 следователно ъгъл АОД=90 градуса. Имаме, че АН=ВН=1/2АВ и ДМ=СМ=1/2СД прилагаме питагорови теореми за ▲АНО и за ▲ОМД и събираме резултатите и получаваме
(1/2АВ)²+(1/2СД)²+5*5+5*5=ОД²+АО²
ако приложим Питагоровата теорема и за ▲АОД(който доказахме че е правоъгълен) получаваме, че АД²=АО²+ОД²
1/4AB²+1/4CD²=AD²-50
AB²+CD²=(2AD)²-200, но АВ + СД=АД+ВС и АД=ВС => 2АД=АВ+СД
AB²+CD²=(AB+CD)² - 200
200=2AB*CD => AB*CD=100 това не е ли заобиколно? я кажете как намирате АВ+СД ?

[Fed]

martosss, доста дълго решение... Ето нещо много по-кратко:

а) Построяваме височината DH. Тогава АН=(а-b)/2; AD=BC=(a+b)/2 (заради това че е описан); DH=10; Правиш Питагор и излиза а.b=100

б) Нека допирните точки са M и N. Tогава MN=2ab/(a+b)=8 (доказва се лесно) =>a+b=25. Правиш с-ма и намираш AB=20 и CD=5 или AB=5 и CD=20.