Едно диференциално уравнение!

[OliGoFren]

Едно диференциално уравнение ме мъчи.

[tex]\frac{u^2}{r^2}y^2+y''-u^2=0[/tex]
[tex]y(0)=0[/tex]
[tex]y'(0)=p[/tex]

[tex]u>0,[/tex][tex]r>0,[/tex][tex]p=const[/tex]

Предполагам, че решението е фамилия криви, защото има още един граничен параметър: y'(0)=?. Предполагам, че за всяка различна конкретна стойност на y'(0) се получава различно решение.
Предполагам, че всяка такава крива е монотонно растяща и при +безкрайност клони към r, но не мога да го докажа.
Не прилича на никое от диференциалните уравнения, които съм решавал досега. Ta дали някой не е решавал такива уравнения? МОля ви, дайте ми някакви насоки. Или линкове, където има информаия за уравнения като това.
Това уравнение въобще решимо ли е в квадратури? Или може би с някакви редове? А може би чрез някои от известните т.нар. специални функции? А може ли да се докаже, че гранично клони към r без да се решава уравнението.
За мен най-интересно конкретно е решението (ако го има) в случая, когато y'(0)=+безкрайност, т.е. тангентата в точката 0 съвпада с ординатната ос.
Моля ви, добри математици - помогнете!

//Това не е за изпит или олимпиада, ами просто ми се наложи да решавам такова уравнение, а аз въобще не съм математик.

[Реклама]

[Infernum]

Ами уравненито, за което питаш е автономно от втори ред. Известно е, че редът на уравненията от този вид може да се понижи с една единица, като се въведе функцията

z(y) = у'.

Тогава втората производна на y се изразява спрямо z така:

y'' = (y')' = [z(y)]' = z'y' = zz'.

Замествайки тази производна в изходното уравнение, се достига до уравнението

zdz + u²(y²/r² -1)dy = 0.

Последното уравнение е с разделени променливи и се интегрира непосредствено.
Като се вземат предвид началните условия

y(0) = 0
y'(0) = p
(p - реален параметър),

се достига до уравнението

(y')² + 2u²y(y²/(3r²) - 1) - p² = 0.

Решението на това уравнение се получава, като се реши относно производната и се интегрират получените две уравнения, които са с разделени променливи. Тъй като се получава елиптичен интеграл, решението на изходното уравнение може да се запише във вида

t = ±∫_0..ydλ/√(p²- 2u²λ(λ²/(3r²) - 1)),

за всички стойности на p, u, r и λ, при които радикалът е положителен.
Знакът пред интеграла, съвпада със знака на p.

Обаче с изследването на това решение не мога да ти помогна.

[Infernum]

Иначе това уравнение би могло да се интегрира и с помощта на степенни редове, тъй като функцията

f(t, y, y') = u²/r²y² - u²

очевидно е аналитична в околкност на точката (0, 0, p). Тогава, според една теорема на Коши, решението на даденото уравнение с начални условия y(0) = 0, y'(0) = p, представлява сумата на някакъв сходящ степенен ред.