Спешна нужда

[scrujy]

Здравейте!
Ще бъда много благодарен ако наистина има някой,който ще може да ми помогне най-накрая със следните задачи.В тях е даден само отговора,защото са от сборник,но така и немога да ги реша,а наистина ми трябват:

1.
В правоъгълен равнобедрен триъгълник са построени медианите към катетите.Да се намери тангенсът на острия ъгъл м/у тях.

Отг:3/4

2.
Един от ъглите на триъгълник е 60 градуса.Височината на триъгълника от върха на този ъгъл е равна на половината от радиуса на описаната окръжност.Да се намерят другите два ъгъла на триъгълника.

Отг:15° и 105°

3.
Около равнобедрен труиъгълник АBC с ъгъл алфа=75 градуса е описана окръжост.През върха С е построена хорда ,която пресич основата АB.Да се намери Sabc,ако АB разделя хордата на части от а см и b см,считано от върха C.

Отг:а(а+b)/4 см2 при а≥b(7+4√3)


4.
Ъгълът при основата на равнобедрен триъгълник е алфа.Да се намери тношението на радиусите на вписаната и описанта му окръжност.

Отг:sin2алфа по tgалфа/2

5.
Острият ъгъл на ромб е алфа.През върха му е построена права,която дели ъгъла в отношение 1:2.В какво отношение тази права дели страната на ромба?

Отг: cosалфа/2 : cosалфа/6

6.
В ромб ABCD и в триъгълник ABC,съдържащ големия му диагонал,са вписани окръжности.Да се намери отнощението на радиусите им,ако острия ъгъл на ромба е алфа.

Отг:2cos квадрат алфа/4

7.
Малката основа на равнобедрен трапец служи за страна на равностранен ▲ ,чийто трети връх лежи на голямата основа на трапеца.Да се намерят ъглите на трапеца,ако лицето му е 5 пъти по-голямо от лицето на равностранния ▲.

Отг:30°,30°,150°,150°

8.
В окръжност е вписан трапец,като центърът и лежи в/у голямата основа на трапеца.Ако острият ъгъл на трапеца е алфа,да се намери в какво отношение пресечната точка на диагоналите му разделя височината на трапеца.

Отг:-cos2алфа при алфа принадлежаща (45°;90°)

9.
В равнобедрен ▲ дължините на основата и бедрото са съответно 12 см и 10 см.Едното бедро служи за диаметър на окръжност.Да се намери лицето на четириъгълника с върхове пресечните точки на окръжността със страните на триъгълника.

Отг:30,70см2

10.
Около окръжност с радиъс 1 см е описан триъгълник,чийто страни са в отношение 7:15:20.Да се намери лицето му.

Отг:10,5см2

11.
Да се докаже,че лицето на ▲ е равно на произведението от отсечките,на които една от страните се разделя от допирната точка с вписната окръжност,тогава и само тогава,когато триъгълника е правоъгълен.


12.
Окръжност с радиус 2см е вписана в ▲.Да се намерят страните му,ако допирната точка дели едната от тях на отсечки от 3 см и 4 см.Да се намери и лицето на ▲.

Отг:7см;6,5см;7,5см;21см2

13.
Средите на страните и върха С на ▲ABC лежат на една окръжност к(О;R).Да се докаже,че радиусът r на вписаната в ▲ABC окръжност е два пъти по-малък от R тогава и само тогава,когато AB=8/3√Sabc


14.
Да се намери ъгълът алфа на ▲ABC,ако b2+c2-a2=4S (b2 значи: бе на втора,същото важи и за другите )

Отг:45°

15.
В окръжност е вписан остроъгълен ▲ABC и А1,B1,C1, са диаметрално противоположните точки съответно на A,B,C.Да се докаже,че лицето на шестоъгълника AC1BA1CB1 е два пъти по-голямо от лицето на ▲ABC.


Наистина ще съм много благодарен дори и за 1 задача....

[Реклама]

[ScorpioFlight]

1 zadacha:

[ScorpioFlight]

2 zadacha:

γ = 60° => β = 120° - α
CH = h = R/2
▲HCB: sinβ = h/a => a = R/2sinβ
a/sinα = 2R (sinusova t-ma) => a= 2Rsinα
2Rsinα = R/2sinβ
4sinα.sinβ = 1
4sinα.sin(120° - α) = 1
2{cos(2α - 120°) - cos120} = 1
cos(2α - 120°) = 0
2α - 120° = 90° α = 105°
β = 15°

[ScorpioFlight]

4 zadacha:

a/sinα = 2R => a = 2Rsinα
γ = 180° - 2α
c/sinγ = 2R => c = 2Rsin2α
p = a + c/2
Sabc = p.r = (a².sinγ) / 2
r(2Rsinα + Rsin2α) = 2R².sin²α.sin2α
2Rr.sinα(1 + cosα) = 2R².sin²α.sin2α
r/R = sinα.sin2α / (1 + cosα) = (sin2α.2sinα/2.cosα/2) / 2cos²α/2 = sin2α.tgα/2

[lpishinov]

7-ма задача :
Нека т. М лежи на АB => CM=DM=CD
<DAM = <CBM; AD=BC; <AMD=<BMC(AB || CD) => AM=MB;
5*Scdm = Sabcd
5*Scdm = Sadm+ Scdm +Smcb
4*Scdm = 2*Smcb ( тр. MCB и AMD еднакви )
2*Scdm =Smcb(ако МH перпендиколярно на CD) =>
2MH*CD=MB*MH
2CD=MB , но (cd=mc) =>
2MC=MB и <CMD=60 градуса => <MCB=90 градуса, (можеш да го докажеш по доста начини като най-удибния за мен е синусова теорема като <MCB= alfa и така, но не го написах защото си мисля че е очевидно, но задължително се пише де )
а от там вече <ABC=30 gr. i <BCD=150 gr.

[lpishinov]

извинявам се за правописните грешки, ама какво да направя

[ScorpioFlight]

6 zadacha:

R - radius na vpisanata k v romba
r - radius na vpisanata k v ▲

DD₁ = h (v romba) = 2R
▲AD₁D:
a = 2R/sinα

AC x BD = O

▲BCO: CO = a.cosα/2 = AO
▲ABC: O₁ - centyr na vpisanata k => AO = lα/2 (yglopolovqshta)
▲AOO₁:
cotgα/4 = AO/r = (a.cosα/2) / r
a = (r.cotgα/4) / cosα/2

2R/sinα = (r.cotgα/4) / cosα/2
R/r = (2sinα/2.cosα/2.cotgα/4) / 2cosα/2 = 2cos²α/4

[ScorpioFlight]

10 zadacha:

a:b:c = 7:15:20
P = a + b + c = 7x + 15x + 20x = 42x
p = P/2 = 21x

S = p.r = 21x (r = 1)
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c) (heronova formula)

priravnqvash i se poluchava x = 1/2

S = 21/2 = 10,5

[lpishinov]

Е тъкмо и аз нея щях да напиша ама карай.

[ScorpioFlight]

Na men 3-ta mi se opyna, tyj 4e.....

[lpishinov]

14-та задача :

b^2 + c^2 - a^2 = 4S : (a^2=b^2+c^2-2cb*cosα)
заместваме а^2 и получаваме : 2cb*cos<α =4S
2cb*cos<ACB=(4bc*sinα )/2
cosα = sinα => cosα - sinα =0 => sin(П/4 - α )=0 =>
α = 0 или α = П/4- П , но α Е (0,П) => α = П/4

(п.с. b^2 : означава b на квадрат, така и за другите)

[ScorpioFlight]

14 zadacha:

a² = b² + c² - 2bc.cosα (cosinusova t-ma)
b² + c² - a² = 2bc.cosα
4S = 2bc.cosα
2(bc.sinα) / 2 = 2bc. cosα
sinα = cosα
α = 45°

[ScorpioFlight]

Как ме изпревари само...

[lpishinov]

Еми явно един тип задачи ни харесват да бичим

[martosss]

аз пък обичам трудните задачи, дето другите не могат да ги решат , за това реших трета:
нека СН е височината през С(Н е върху АВ),
СМ=а и МР=в(СР е хордата през С) и
нека О е центъра на описаната около АВС окръжност,
при това ОК е перпендикулярът от О към С(К е върху СР). От тук СК=КР=½CP=(a+b)/2(понеже ОК е диаметър, перпендикулярен на хордата СР)
Нека да означим СО=ОА=ОВ=х, тогава ▲АОС е равнобедрен и ъгъл САО=15° от тук ъгъл ОАВ=60°, тоест ▲АВО е равностранен и АВ=х от ▲АНО намираш ОН=х√3/2
После ▲ОКС≈▲МНС => KC/OC=HC/MC => (a+b)/2 : x = x + x√3/2 : a => (a+b)*a=2x*x*(1+(√3)/2) => x²=a(a+b)/(2+√3) => S = AB*CH/2 = x²*(1+(√3)/2)/2 = a(a+b)*(2+√3)/4*(2+√3)=a(a+b)/4 просто подобни триъгълници

[omeganet]

5.
Нека [tex]{\rm M} \in {\rm DC}[/tex] и [tex]\frac{{\angle MAD}}{{\angle {\rm MAB}}} = \frac{1}{2}.{\rm }\angle {\rm MAD = }\frac{\alpha }{{\rm 3}}.{\rm }\angle {\rm ADC = 180}^\circ {\rm - }\alpha \Rightarrow \angle {\rm AMD = }\frac{{{\rm 2}\alpha }}{{\rm 3}}[/tex].
От син. теорема за ▲AMD получаваме:
[tex]\frac{{{\rm DM}}}{{{\rm sin}\frac{\alpha }{{\rm 3}}}} = \frac{{AD}}{{\sin \frac{{2\alpha }}{3}}} \Rightarrow \frac{{DM}}{{AD}} = \frac{{{\rm sin}\frac{\alpha }{{\rm 3}}}}{{2{\rm sin}\frac{\alpha }{{\rm 3}}.\cos \frac{\alpha }{3}}} = \frac{1}{{2\cos \frac{\alpha }{3}}} = \frac{{DM}}{{DC}}[/tex]

[ScorpioFlight]

Ами нормално едни задачи да харесваме - все пак и аз съм от смолянската школата a относно задачките дето се опъват, martosss - утре за закуска ще ги видим

[martosss]

ето 9)
Имаш АВС и окръжност около АС и пресечните точки на окръжността съответно с АВ и ВС са Н и Р, имаш че ъгъл АНС=90° = дъгата АС/2, която е диаметър на окръжността, ъгъл АРС е 90° по същите причини, от тук СН и АР са ти височини към основата и едното бедро... СH=(АС²-AH²)=√(100-36) = 8
Намираш в ▲АРС от питагоровата теорема РС=√(AC²-AP²)=√(100-9.6²)=√[(100²-96²)/100] = √[4*196/100]=2*14/10=2.8=PC
нека НК е перпендикулярно на ВС(К е върху ВС) ; 2*Shbc=СН*BH=HK*BC=> HK=8*6/10=4.8 => Sahpc=Sahc+Shpc=AH*HC/2 + PC*HK/2 = 6*8/2 + 2.8*4.8/2=24 + 6.72 = 30.72см² не знам защо отговора е 30.7, може би са го закръглили, а може би имам грешка

[martosss]

11) Според мен тази задача е сбъркана, защото отсечките, които се получават могат да се изразят чрез страните, и при това се получава, че само произведението на отсечките получени от страната СРЕЩУ основата дава личицето на АВС, другите дават а*c/2≠ S ! ! ! и b*c/2≠Sabc ! ! ! ако не е правоъгълен се получава същото, но тогава просто а*b/2≠Sabc

П.С. Един прост пример, ако имаш правоъгълен триъгълник със страни 3, 4 и 5, то отсечките стават 1,2 и 3 см и само при АВ имаш 2*3=3*4/2=S !

[lpishinov]

[lpishinov]

martosss - имам един въпрос.
3-та задача :
И мойто решенив в подобно, но нямам идея как ще се получат тези допустими стойности . Какво изпускаме?

[lpishinov]

12-та задача :

Нека допирните точки са М, N и P и CM=4; AM=3
=>AP=AM=3; CM=CN=4 (P на AB и N на BС)
Нека ВР=ВN=x => p=7+x => Sabc=2(7+x), но Sabc=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))
или 2(7+х)=sqrt((7+x)*x*12) <=> 7+x=sqrt(3x*(7+x))
49 + 14x + x^2 = 21x + 3x^2
2x^2 + 7x - 49 = 0
a това уравнение има единствен положителен корен х=7/2
и от там получаваме Sabc=21 ; и страните са 7,6.5,7.5

[ScorpioFlight]

8 zadacha:

▲OBM: tgα = OB/OM => OB = OM.tgα
▲ABD: sinα = BD / 2OB => BD = 2.OM.sinα.tgα
▲BDD₁: cosα = DD₁/BD
cosα = (NM + OM) / 2.OM.sinα.tgα
2sin²α = (NM + OM) / OM
2sin²α - 1 = NM / OM
NM/OM = -cos2α


i cherezha za da se orientirash v oznacheniqta:[/img]

[ScorpioFlight]

и 13-та задача:

[lpishinov]

[ScorpioFlight]

прехвърляш 2. sinα.tgα през равенството и....

cosα . 2. sinα.tgα = (NM + OM) / OM
2.cosα.sinα.sinα/cosα = (NM + OM) / OM

косинусите се съкращават а синуса става на квадрат.....

така по-ясно ли е?

[martosss]

[scrujy]

еееее златни сте...много Ви благодаря за това което успяхте да решите а сега учене

[martosss]

Грешиш сега ще решаваме още задачи

[lpishinov]