Регистрирайте сеРегистрирайте се

сечение на равнина с хеликоид


 
   Форум за математика Форуми -> Диференциална/Дескриптивна геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
sashetoo
Начинаещ


Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18

Репутация: 3.1Репутация: 3.1Репутация: 3.1

МнениеПуснато на: Tue Jun 12, 2007 7:31 am    Заглавие: сечение на равнина с хеликоид

Дадена е декартовата координатна система Оxyz. Спрямо нея е построена равнина L успоредна на оста 0z, сключваща ъгъл [tex]\varphi[/tex] с положителната посока на оста Ох и минаваща през точката М с декартови координати (0, а0, 0). Спрямо същата координатна система е даден хеликоид, на който оста на ротация съвпада с направлението на оста Ох. Дължината на образуващата на този хеликоид е равна на [tex]a[/tex], а стъпката му е равна на [tex]b[/tex]. Образуващата на хеликоида сключва ъгъл [tex]\frac{\pi }{2}-\alpha [/tex] с оста на ротация. Хеликоида минава през точката М и се развива в положителна посока, т.е. при въртене на образуващата в посока обратна на часовата стрелка, гледано от върха на оста 0х, образуващата се придвижва в положителна пососка по оста 0х.

Намерете параметрично уравнение на кривата, получена при пресичането на равнината L и частта от повърхнината на хеликоида, която минава през точката М и е получена при първия полуоборот на образуващата, началнтото положение на която се намира в равнината [tex]y=0[/tex] и в полупространството [tex]z\le 0[/tex].

За параметрите посочени по-горе са в сила ограниченията:

[tex]0<a[/tex]

[tex]0<b[/tex]

[tex]0<a_0\le a cos \alpha[/tex]

[tex]0\le \alpha \le acos(\frac{a_0}{a})[/tex]

[tex]0<\varphi \le \frac{\pi}{2}-\alpha [/tex]
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
Infernum
Фен на форума


Регистриран на: 23 Mar 2006
Мнения: 740

Репутация: 86.6Репутация: 86.6
гласове: 20

МнениеПуснато на: Tue Sep 04, 2007 2:25 pm    Заглавие:

Спрямо декартовата координатна система 0xyz, уравненията на равнината L и частта от хеликоида са както следва:

[tex]y-a_0=x tg \varphi [/tex]

и

[tex]x=\frac{bv}{2\pi}-a_0 tg \alpha +u sin \alpha [/tex]
[tex]y=u cos v cos \alpha [/tex]
[tex]z=u sin v cos \alpha [/tex]

[tex]0\le u\le a[/tex]
[tex]-\frac{\pi }{2}\le v\le \frac{\pi }{2}[/tex]

В цилиндрични координати

[tex]x=t[/tex]
[tex]y=u cos v cos \alpha [/tex]
[tex]z=u sin v cos \alpha [/tex]

(t, u, v) E D1={(t, u, v): t E R, 0 ≤ u, -п ≤ v ≤ п},

уравнението на равнината L е

[tex]u cos v cos \alpha =t tg\varphi +a_0[/tex]
[tex](t, u, v)\in D_1,[/tex]

а на частта от хеликоида-

[tex]x=\frac{bv}{2\pi}-a_0 tg \alpha +u sin \alpha [/tex]
[tex]y=u cos v cos \alpha [/tex]
[tex]z=u sin v cos \alpha [/tex]

(t, u, v) E D2={(t, u, v): t E R, 0 ≤ u ≤ a, -п/2 ≤ v ≤ п/2}.

Тогава сечението на равнината и частта от хеликоида се генерира от системата

[tex]x=t[/tex]
[tex]y=u cos v cos \alpha [/tex]
[tex]z=u sin v cos \alpha [/tex]
[tex]u cos v cos \alpha =t tg\varphi +a_0[/tex]
[tex]t=\frac{bv}{2\pi}-a_0 tg \alpha +u sin \alpha [/tex]

като самата крива се намира в областта
[tex]D=D_1\cap D_2.[/tex]

От последните две уравнения се изразяват параметрите t и u чрез v, и така намерените изрази се заместват в първите три уравнения. В резулта на това се получава параметричното уравнение на сечението на равнината с частта от хеликоида

[tex]x=\frac{b v cos v + 2\pi a_0(1-cos v)tg \alpha}{2\pi (cos v-tg \alpha tg \varphi)}[/tex]

[tex]y=\frac{bv tg \varphi-2\pi a_0(tg \varphi tg \alpha -1)}{2\pi (cos v -tg \alpha tg \varphi)} cos v[/tex]

[tex]z=\frac{bv tg \varphi-2\pi a_0(tg \varphi tg \alpha -1)}{2\pi (cos v - tg \alpha tg \varphi)} sin v[/tex]

Имайки предвид, че тази крива се намира в областта D, интервалът на изменение на параметъра v се генерира от системата

[tex]0\le u\le a[/tex]
[tex]-\frac{\pi }{2}\le v\le \frac{\pi }{2},[/tex]

която разписана относно v има вида

[tex]0\le \frac{bv tg \varphi-2\pi a_0(tg \varphi tg \alpha -1)}{2\pi (cos v cos \alpha -sin \alpha tg \varphi)}\le a[/tex]

[tex]-\frac{\pi }{2}\le v\le \frac{\pi }{2}.[/tex]

За решение на тази система погледни
http://www.math10.com/forumbg/viewtopic.php?t=2641

За параметрите участващи в тази ситема са наложени ограниченията от условието.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение Посетете сайта на потребителя
sashetoo
Начинаещ


Регистриран на: 04 Apr 2007
Мнения: 18

Репутация: 3.1Репутация: 3.1Репутация: 3.1

МнениеПуснато на: Wed Oct 03, 2007 9:54 am    Заглавие:

Имаме участник познал точните резултати

Здравейте,
В момента нямам кирилица на компютъра, така че се наложи с RemoteDesktop да вляза в компютъра на един колега и от там да напиша и изпратя този пост, още повече, че за да направя всичко това използвам мрежата за пренос на бази данни на един институт...
Дано нещо не се оплеска...

Първо искам да изкажа най-дълбоката си благодарност към Infernum,
за невероятната помощ която ми оказа при решаването на тази задача !!!
С него проведохме доста разговори, предимно през нощтта, за уточняване на задачата. Първоначалното ми задание имаше безумен външен вид, но след редакцията на Infernum всичко стана ясно и прегледно.

Оказа се, че задачата е доста тежка и надхвърля моите познания в областта на математиката. Infernum обаче, можа да я упрости до такава степен , че аз да взема неговите уравнения , да ги вкарам в MATLAB и без особена борба, т.е. за по малко от 2 часа да интегрирам неговото решение в един сложен и предварително написан алгоритъм.
Решението което даде Infernum, се различава от моето (напълно дивашко решение) на задачата в деветия знак след десетичната запетая.
Въпросът е , че това което направи той е напълно универсално и пригодено за лесна и безпроблемна автоматизация, докато това което правех аз беше само едно от безкрайно многото решения които могат да се получат при различни вариации на входните данни. Освен това за да получа резултат с моя алгоритъм ми трябваше близо 20 часа работа с конкретни цифри.
АЗ ЛИЧНО, ДО ПРЕДИ ДВА МЕСЕЦА СЕ БЯХ ОТКАЗАЛ ДА СЕ ЗАНИМАВАМ ПОВЕЧЕ С ТАЗИ ЗАДАЧА, но Infernum се хвана, обясняваше ми търпеливо нещата и резултата е налице...

Р.р. Освен всичко останало в този форум вече съм получил отговори на мисля бяха 3 други задачи , и на всички тях е отговорил все Infernum.
Знам, че има някаква система за оценка на участниците във форума, и се надявам да мога пак да повиша рейтинга на Infernum , но за съжаление предните 3-4 пъти когато пробвах да го направя , се оказа, че системата не ми разрешава...
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Диференциална/Дескриптивна геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
You cannot attach files in this forum
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.