Китайска олимпиада - 1988

[Who_cares123456]

За всяко цяло число n ≥ 3 , нека f(n) означава най-малкото положително цяло число, което не е делител на n. Нека
f⁽¹⁾(n)=f(n). Ако f^(k)(n)≥3, f(f^(k)(n)) има смисъл и е дефинирано като f^(k+1)(n). За всяко цяло число n ≥ 3, определете к, където f^(k)(n) = 2.

Китайска олимпиада - 1988 (6 зад.)

[Реклама]

[krassi_holmz]

Така, значи ако n е нечетно, тогава веднага f(1)(n)=2 и k=1.
Ако n е четно, тогава f(1)(n) e нечетно и следователно f(2)(n) = f(f(1)(n))=2. Значи тук k=2.
Да не би да имам грешка някъде или да не съм разбрал задачата?

[Who_cares123456]

Очевидно, f(n) = 2, ако n е нечетно и тогава имаме к = 1. Разглеждаме четни цели числа n > 4 . Предполагаме, че f(n) = аb, където а и b са взаимно прости цели числа, по-големи от 1. Тогава a < f(n) и b < f(n). Следователно и a, и b са делители на n. Tъй като те са взаимно прости числа, ab също дели n, което противоречи на дефинирането на f(n). Следователно, f(n) = p^l за някакво просто число р и някакво положително, цяло число l. Ако р = 2 , f(2^l) = 3 и f(3) = 2 , така че к = 3 . Ако р ≠ 2 , тогава f (р^l) = 2 , така че к = 2.

това си е мое решение . не претендирам за оригиналност, но в отговорите наистина пише, че са възможни само 1,2 и 3