f(x)

[name01]

Дадена е функцията: [tex]f_{(x)}=\frac{x+1}{x-3}[/tex]

1. През точка с абсциса х=4 е прекарана допирателна към графиката на функцията,
която песича осите Ox и Oy съответно в точките М и N. Намерете лицето на ▲OMN, където
О е началото на координатната система.

2. Нека Р е точка от отсечката MN и нека РМ=t.MN, където t E [0,1].
Изразете вектора [tex]\vec {OP}[/tex], чрез векторите [tex]\vec {OM}[/tex] & [tex]\vec {ON}[/tex]. При коя стойност на параметъра t векторите [tex]\vec {OP}[/tex] & [tex]\vec {MN}[/tex] са перпендикулярни?

3. Намерете бсцисата [tex]x_o > 3 [/tex] на онази точка от графиката на функцията, допирателната към която отсича от първи квадрант триъгълник с най-малко лице.

[Реклама]

[Fed]

За а) получавам S_OMN=441/8

[name01]

Нямам отговорите, а и не съм я решил изцяло, но като видях графиката на функцията нещо се обърках, ще я постнеш ли, понеже ми се струва че получаваш твърде голяма стойност за лицето.

[Fed]

Aз първо намирам уравнението на допирателната в х=4.

f'(x)=(-4)/(x-3)²

y=f'(x₀)(x-x₀)+f(x₀)
y=(-4)(x-4)+5=-4x+21

y(0)=21
y=0 при х=21/4

▲OMN-правоъг. => S=OM.ON/2=21.(21/4)/2=441/8

Трябва да е толкова лицето. Провери някъде при сметките да не съм сбъркал нещо, но не мисля...

[Fed]

[Fed]

За б) получавам това:

МN=-OM+ON
MP=t.MN=t.(-OM+ON)
OP=OM+MP=OM+t.(-OM+ON)=OM(1-t)+t.ON

За втората част на б) използвам че ОМN e правоъг. тр. с известно катети и лесно се намират отсечките на които се дели хипотенузата от височината. Получава се t=1/17

[name01]

Yep, съгласих се така е.

[Fed]

[Fed]

За в) това което се сещам е следното:

В точка х₀ уравнението на допирателната изглежда така:

y=(x₀²+2x₀-4x-3)/(x₀-3)²

Смятаме у=0 и у(0) и намираме съответно координатите на пресечните точки на допирателната с Ох и Оу. Нека те са Х и У.
Тогава S=OX.OY/2. Изследваме ф-ята за минимум и намираме x₀.

[uktc]

3+2√3 получавам за в)