Предишната тема :: Следващата тема |
Автор |
Съобщение |
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sat Jun 09, 2007 7:03 pm Заглавие: Най-голямо лице |
|
|
Докажете, че от всички четириъгълници с един и същ периметър, квадратът загражда област с най-голямо лице. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Реклама
|
Пуснато на: Заглавие: Реклама |
|
|
|
|
Върнете се в началото |
|
|
name01 Фен на форума
Регистриран на: 11 May 2007 Мнения: 500
гласове: 5
|
Пуснато на: Sat Jun 09, 2007 9:28 pm Заглавие: |
|
|
За всяка произволна страна [tex]k[/tex], на произволен квадрат отговарят
2 страни на правоъгълник със същия периметър, които са :[tex]k+n , k-n[/tex], където n e положително число и n<k .
Лицата на квадрата и правоъгълника са [tex]k^2 , k^2 - n^2[/tex], от което е очевидно кое е по-голямо. |
|
Върнете се в началото |
|
|
r2d2 VIP
Регистриран на: 28 Feb 2007 Мнения: 1936 Местожителство: in the galaxy (Far Far Away) гласове: 179
|
Пуснато на: Sun Jun 10, 2007 1:34 pm Заглавие: |
|
|
Tи си доказал, че от всички правоъгълници с даден периметър, най-голямо лице има квадрата и нищо повече |
|
Върнете се в началото |
|
|
Methuselah VIP
Регистриран на: 17 Feb 2007 Мнения: 1057 Местожителство: София гласове: 20
|
Пуснато на: Sun Jun 10, 2007 9:10 pm Заглавие: |
|
|
Нека имаме четириъгълника АВСD с периметър Р. Ясно е че АВСD трябва да е изпъкнал.
Нека първо вземем за фиксирани точките А и С и АD+DC=const , AB+BC=const.
Т.е. точка D и точка B се движат по елипси със фокуси А и С.
За да има четириъгълникът най-голямо лице при фиксирани А и С трябва разстоянието от D до АС да е най-голямо и от В до АС също. От елипсата се вижда че D и В трябва да лежат на симетралата на АС т.е. АВСD e поне делтоид.
Като сме получили това сега разглеждаме фигурата при фиксирани D и В. Аналогично доказваме че С и А трябва да лежат на симетралата на DB т.е. получаваме ромб.
И сега остава да докажем че измежду всички ромбове с даден периметър най-голямо лице има квадратът, което не е трудно...
Последната промяна е направена от Methuselah на Sun Jun 10, 2007 10:08 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти |
|
Върнете се в началото |
|
|
name01 Фен на форума
Регистриран на: 11 May 2007 Мнения: 500
гласове: 5
|
Пуснато на: Sun Jun 10, 2007 9:10 pm Заглавие: |
|
|
Не съм прочел внимателно, вярно че пише четириъгълници. |
|
Върнете се в началото |
|
|
Methuselah VIP
Регистриран на: 17 Feb 2007 Мнения: 1057 Местожителство: София гласове: 20
|
Пуснато на: Sun Jun 10, 2007 11:14 pm Заглавие: |
|
|
Чети внимателно, че идват петоъгълниците... |
|
Върнете се в началото |
|
|
M_Velinova Фен на форума
Регистриран на: 04 Oct 2006 Мнения: 650 Местожителство: Sofia гласове: 21
|
Пуснато на: Mon Jun 11, 2007 11:05 am Заглавие: |
|
|
Нека [tex]a_1, a_2, a_3, a_4[/tex] са страните на четириъгълника ABCD, за който [tex]a_1+ a_2+ a_3+ a_4={4a}\\S_{ABCD}=\frac{a_1.a_2.sin{\alpha}+a_2.a_3.sin{\beta}+a_3.a_4.sin{\gamma}+a_4.a_1.sin{\delta}}{4}{<=}\frac{a_1.a_2+a_2.a_3+a_3.a_4+a_4.a_1}{4}=\\\frac{a_2.(a_1+a_3)+a_4(a_1+a_3)}{4}=\frac{(a_1+a_3)(a_2+a_4)}{4}\\S_{ABCD}=\frac{(a_1+a_3)(a_2+a_4)}{4}\\[/tex],
когато [tex]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/tex] са по 90о. следователно четириъгълникът с най- голямо лице ще бъде правоъгълник, съответно квадрат(от по-горе написаното. |
|
Върнете се в началото |
|
|
M_Velinova Фен на форума
Регистриран на: 04 Oct 2006 Мнения: 650 Местожителство: Sofia гласове: 21
|
Пуснато на: Mon Jun 11, 2007 11:08 am Заглавие: |
|
|
Доказателството може да се напише по- строго, но реших да пробвам Latex и енергията ми отиде в писането. |
|
Върнете се в началото |
|
|
|