Регистрирайте сеРегистрирайте се

Най-голямо лице


 
   Форум за математика Форуми -> Геометрия
Предишната тема :: Следващата тема  
Автор Съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sat Jun 09, 2007 7:03 pm    Заглавие: Най-голямо лице

Докажете, че от всички четириъгълници с един и същ периметър, квадратът загражда област с най-голямо лице.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Реклама







Пуснато на:     Заглавие: Реклама

Върнете се в началото
name01
Фен на форума


Регистриран на: 11 May 2007
Мнения: 500

Репутация: 40.3Репутация: 40.3Репутация: 40.3Репутация: 40.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sat Jun 09, 2007 9:28 pm    Заглавие:

За всяка произволна страна [tex]k[/tex], на произволен квадрат отговарят
2 страни на правоъгълник със същия периметър, които са :[tex]k+n , k-n[/tex], където n e положително число и n<k .
Лицата на квадрата и правоъгълника са [tex]k^2 , k^2 - n^2[/tex], от което е очевидно кое е по-голямо.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
r2d2
VIP


Регистриран на: 28 Feb 2007
Мнения: 1936
Местожителство: in the galaxy (Far Far Away)
Репутация: 311.2Репутация: 311.2
гласове: 179

МнениеПуснато на: Sun Jun 10, 2007 1:34 pm    Заглавие:

Tи си доказал, че от всички правоъгълници с даден периметър, най-голямо лице има квадрата и нищо повече Surprised
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Jun 10, 2007 9:10 pm    Заглавие:

Нека имаме четириъгълника АВСD с периметър Р. Ясно е че АВСD трябва да е изпъкнал.
Нека първо вземем за фиксирани точките А и С и АD+DC=const , AB+BC=const.
Т.е. точка D и точка B се движат по елипси със фокуси А и С.
За да има четириъгълникът най-голямо лице при фиксирани А и С трябва разстоянието от D до АС да е най-голямо и от В до АС също. От елипсата се вижда че D и В трябва да лежат на симетралата на АС т.е. АВСD e поне делтоид.
Като сме получили това сега разглеждаме фигурата при фиксирани D и В. Аналогично доказваме че С и А трябва да лежат на симетралата на DB т.е. получаваме ромб.
И сега остава да докажем че измежду всички ромбове с даден периметър най-голямо лице има квадратът, което не е трудно...


Последната промяна е направена от Methuselah на Sun Jun 10, 2007 10:08 pm; мнението е било променяно общо 2 пъти
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
name01
Фен на форума


Регистриран на: 11 May 2007
Мнения: 500

Репутация: 40.3Репутация: 40.3Репутация: 40.3Репутация: 40.3
гласове: 5

МнениеПуснато на: Sun Jun 10, 2007 9:10 pm    Заглавие:

Не съм прочел внимателно, вярно че пише четириъгълници.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Methuselah
VIP


Регистриран на: 17 Feb 2007
Мнения: 1057
Местожителство: София
Репутация: 105.9
гласове: 20

МнениеПуснато на: Sun Jun 10, 2007 11:14 pm    Заглавие:

Чети внимателно, че идват петоъгълниците... Crying or Very sad
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
M_Velinova
Фен на форума


Регистриран на: 04 Oct 2006
Мнения: 650
Местожителство: Sofia
Репутация: 75.8Репутация: 75.8
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 11, 2007 11:05 am    Заглавие:

Нека [tex]a_1, a_2, a_3, a_4[/tex] са страните на четириъгълника ABCD, за който [tex]a_1+ a_2+ a_3+ a_4={4a}\\S_{ABCD}=\frac{a_1.a_2.sin{\alpha}+a_2.a_3.sin{\beta}+a_3.a_4.sin{\gamma}+a_4.a_1.sin{\delta}}{4}{<=}\frac{a_1.a_2+a_2.a_3+a_3.a_4+a_4.a_1}{4}=\\\frac{a_2.(a_1+a_3)+a_4(a_1+a_3)}{4}=\frac{(a_1+a_3)(a_2+a_4)}{4}\\S_{ABCD}=\frac{(a_1+a_3)(a_2+a_4)}{4}\\[/tex],

когато [tex]\alpha,\beta,\gamma,\delta[/tex] са по 90о. следователно четириъгълникът с най- голямо лице ще бъде правоъгълник, съответно квадрат(от по-горе написаното.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
M_Velinova
Фен на форума


Регистриран на: 04 Oct 2006
Мнения: 650
Местожителство: Sofia
Репутация: 75.8Репутация: 75.8
гласове: 21

МнениеПуснато на: Mon Jun 11, 2007 11:08 am    Заглавие:

Доказателството може да се напише по- строго, но реших да пробвам Latex и енергията ми отиде в писането.
Върнете се в началото
Вижте профила на потребителя Изпратете лично съобщение
Покажи мнения от преди:   
   Форум за математика Форуми -> Геометрия Часовете са според зоната GMT + 2 Часа
Страница 1 от 1

 
Идете на:  
Не Можете да пускате нови теми
Не Можете да отговаряте на темите
Не Можете да променяте съобщенията си
Не Можете да изтривате съобщенията си
Не Можете да гласувате в анкети
Може да прикачвате файлове
Може да сваляте файлове от този форум
Copyright © 2005-2021 math10.com.