Мярка на ъгъл

[DevilFighter]

Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност. Правите AB и CD се пресичат в точка Е, а диагоналите AC и BD - в точка F. Описаните окръжности около ▲ADF и ▲BCF се пресичат за втори път в точка H. Да се намери мярката на <EHF.

Мисля я от няколко дни тази задача и не мога да се сетя как става....

[Реклама]

[martosss]

ще ти дам отговор копелето ще да е 90° ама защо е 90 не знам... доста труден чертеж, о т15 мин го чертая... е сега ще помисля... от какъв тип е задачата? с какво се очаква да я решим?

[DevilFighter]

Да, толкова е отговора, ама как може да стигнем до него, това е въпроса...Очаква се да се реши тази задача с окръжности, вписани ъгли,вписани четириъгълници, вп. триъгълници, според мен само с ъгли ще стане, но не излиза пустата работа. И аз я мисля тази задача от доста дни и все я зарязвам...........

[DevilFighter]

Никой ли не може да помогне с тази задача?

[Футуролог]

Нека описаната около АВСD окръжност е к и нека О е нейния център. Означаваме <АDВ=<АСВ=а (вписани ъгли в к) и <DАС=<DВС=б (пак като вписани ъгли в к). Тогава <АОВ=2<АDВ=2<АСВ=2а (като централен ъгъл в к). Четириъгълниците FНВС и FНАD са вписани в окръжности и следователно срещуположните им ъгли се допълват до 180 градуса. Оттук следва, че <АНВ=<АDF+<ВСF=<АDВ+<АСВ=а+а=2а. Така <АНВ=<АОВ=2а и следователно четириъгълникът АВНО е вписан в окръжност к(1). Аналогично се доказва, че DСНО е вписан в к(2). Имаме три окръжности к, к(1) и к(2), пресичащи се две по две. Тогава правите определени от общите им хорди АВ, DС и ОН се пресичат в една точка и тъй като правата АВ пресича DС в Е, то пресечната точка на правите определени от АВ, DС и ОН е Е. С други думи правата ЕН минава през О. Като вписани ъгли в к(2) <ОНD=<ОСD=90 - 1/2 <ДОС=90 - б, понеже ОС=ОД като радиуси и оттук ъглите. Също така <DНF=<DАF=<DАС=б (АНFD е вписан в окръжност по условие). Следователно <ОНF=<ОНD+<DНF=90 - б + б = 90, т.е. FН е перпендикуляр на ОН. И понеже ОН лежи на правата определена от ЕН, то <ЕНF=90.

[DevilFighter]

Нечовешка задача... Големи благодарности на Футуролог!Нямам представа, този човек как я е решил. Само имам последна молба ако може някой да направи чертеж, че тази точка H не знам къде точно ми отива...

[Fed]

Наистина уникална задача. Пробвах преди няколко дена да я реша когато я пусна, но си нямах никаква представа как ще стане. Не знам Футуролог как се е сетил, но може и просто да е гений... Браво!

[r2d2]

[DevilFighter]

r2d2, ето сега от чертежа не мога да разбера как така <АНВ=<АDF+<ВСF На чертежа не се вижда това чудо. А когато т.H отиде "над" т.F тогава всичко е нормално...

[Fed]

<AHB=<AOB;
<AOB (централен)=дъга АВ
<АDF=1/2*дъга АВ
<ВСF=1/2*дъга АВ
дъга АВ=<АDF+<ВСF =>
<AOB=<АDF+<ВСF =<AHB

Ако нещо не бъркам трябва това да е обяснението.

[r2d2]

[DevilFighter]

r2d2 Много съм ти благодарен! Сега ми се разясни картинката, признавам труда, който си хвърлил по чертежите

[r2d2]

Все пак хубавото решение си заслужава!

[martosss]

Я кажете как доказвате, че общите хорди на трите окръжности се пресичат в една точка... очевидно е така, но вече сигурно един час се мъча и не мога и не мога да го докажа

[cub]

имам въпрос по решението, извинявайте,ако е глупав

[Футуролог]

Айде сега и едно друго, алтернативно решение (туй е малко по-подробно написано):

Нека a, b, c и d са прави, минаващи съответно през точките А, В, С и D и нека а и с са перпендикулярни на диагонала АС, а b и d са перпендикулярни на диагонала ВD.
Нека а пресича b в точка К, b пресича c в точка Н, c пресича d в Т и d пресича a в точка Р


Лема 1: Тр.ВNС е подобен на тр.АРD и тр.СТD е подобен на тр.ВКА.

Доказателство: <РДА = 90 - <АДВ = 90 - <АСВ = <NСВ, тъй като <АDВ = <АСВ понеже са вписани ъгли в окръжност. Съвсем аналогично <NВС = <РАD. Оттук следва тр.АРD и тр.СТD са подобни. Съвсем аналогично тр.СТD е подобен на тр.ВКА.

Следствие 1: NС/DР = NВ/АР и СТ/ТD = ВК/КА.

Доказателство: Следва директно от подобието между съответните триъгъници.

Лема 2: Точките Р, N и Е лежат на една права.

Доказателство: Нека правата DС пресича правата PN в точка Е1, а правата АВ пресича РN в точка Е2. Искаме да покажем, че Е1=Е2.
Прилагаме теоремата на Менелай за триъгълник РNТ пресечен с правата Е1D. Тогава
1 = РЕ1/Е1N . NС/СТ . DТ/DР = РЕ1/Е1N . NС/DР . DТ/СТ ,
от където, като комбинираме със първото равенство от Следствие1, получаваме, че
Е1N/ РЕ1 = NС/DР . DТ/СТ = NВ/АР . АК/КВ.
Като приложим теоремата на Менелай за триъгълник РNК пресечен с правата Е2A получаваме аналогичен на предния резултат, а именно
Е2N/ РЕ2 = NВ/АР . АК/КВ (това равенство следва директно от теоремата на Менелай, без да прилагаме останалите леми).
Следователно
Е1N/ РЕ1 = Е2N/ РЕ2 ,
т.е. Е1=Е2. Това означава, че правите ДС, АВ и РN се пресичат в една точка и тъй като ДС и АВ се пресичат в Е, то РN също минава през Е, т.е. А, N и Е лежат на една права.

Решение на задачата: Нека Н' е петата на перпендикуляра, спуснат от точка F към правата PN. Тогава от Лема 2 следва, че <ЕН'F = <NH'F = <PH'F =90. Но <NH'F = <NBF = <NCF=90 следователно точките H', B, N, C и F лежат на окръжността k(1), описана около тр.FBC. Съвсем аналогично получаваме, че точките H', A, P, D и F лежат на окръжността k(2), описана около тр. AFD. Следователно k(1) пресича k(2) в точките H' и F. Но по условие H и F са пресечните точки на двете окръжности, от където H'=H, т.е. FH е перпендикулярна на EP. Така <EHF=90.

[martosss]

[martosss]

[martosss]

[xyz]

[martosss]

1) Благодаря за решението с инверсия, макар че не сме го учили и не вдянах почти нищо
2) Мен ми трябваше геометрично решение, за предпочитане лесно , което да мога и аз да напиша ако някога ми се наложи(на олимпиада например), но все пак благодаря за положения труд, xyz

[r2d2]

[r2d2]

Следствие: Ако две окръжности се пресичат в т. М и Р радикалната им ос е правата МР.

Д-во на твърдениетo на Futurolog. (По идея така се доказва че трите ъглополовящи, симетрали се пресичат в една точка).
Нека k1 i k2 пресичат в А и В (радикалната им ос е АВ).
Нека k1 i k3 пресичат в С и D (радикалната им ос е CD).

Ако пресечната точка на АВ и CD е К, то К има равни степени спрямо k1, k2 и k3 => K e от радикалната ос на k2 i k3.

Def. K наричаме радикален център.
Дано да съм помногнал.

[martosss]

да, това ми го беше обяснил още един човек, но тогава не го разбрах, сега всичко е ок, впрочем на картинката си написал, че х=[tex]\frac{R^2-r^2\huge{-}b^2}{2b}[/tex], а не трябва ли да е x=[tex]\frac{R^2-r^2\huge{+}b^2}{2b}[/tex] ¿

[xyz]

Ето и едно решение с малко изчисления (то това си е решението за инверсия, ама е малко скрито):

На фигурата триъгълниците OBC и ODA да подобни, откъдето OB/OD=OC/OA =>
OB.OA=OC.OD
Сега това се изпълнява за фигура 2, защото имаме нужната окръжност. Построяваме точка Y, така че:
OA.OB=OC.OD=OX.OY
Сега използваме обратното от OC.OD=OX.OY например следва, че OC/OY=OX/OD, откъдето триъгълници OCX и OYD са подобни, а оттам ъгъл CXO=OYD => ъгъл CXY+ъгъл OYD = 180, т.е. Y е на едната окръжност. Аналогично и на втората! Така Y се оказа другата пресечна точка. По построените O X Y лежат на една права!

[r2d2]

[tex]x=\frac {R^2-r^2+b^2}{2b}[/tex]
SRY

[martosss]