Стереометрия-доказателство

DevilFighter

Върху стенита BCD, CDA, BDA и ABC на триъгълна пирамида ABCD са избрани съответно точките A' , B', C' и D' , така че отсечките AA', BB', CC', DD' се пресичат в една точка. Нека отсечките AA', BB', CC', DD' се пресичат в т. O. Докажете, че V_OA'B'C' = V_OABC * (B'O/BO)*(A'O/AO)*(C'O/CO) .

Мисля си, че трябва да се използва Теорема на Менелай и Чева, но как се доказва.. ?

Реклама

Fed · Пуснато на: Fri Jun 08, 2007 11:58 am Заглавие:

DevilFighter, задачата е много хубава. Аз измислих едно доста кратко решение без да използвам Менелай и Чева.

Построяваме височините A1H1 и АН2. Тогава Н1,О и Н2 са на една права (мисля, че се доказва лесно);
V_OA1B1C1/V_OABC=А1Н1*S_OB1C1/AH2*S_OBC
Нека <СОВ=θ;
V_OA1B1C1/V_OABC=A1H1*OC1*OB1*sinθ/AH2*OC*OB*sinθ
Но А1Н1/АН2=А1О/ОА (Талес) =>
V_OA1B1C1/V_OABC=ОА1*ОС1*OB1/ОА*OC*OB

DevilFighter · Пуснато на: Fri Jun 08, 2007 3:32 pm Заглавие:

Fed, Благодаря ти много!

Fed · Пуснато на: Fri Jun 08, 2007 3:37 pm Заглавие:

Задачата наистина много ми хареса. Wink

Ако намериш още такива пускай ги и тях. Very Happy

M_Velinova · Пуснато на: Sat Jun 09, 2007 6:57 am Заглавие:

Ще добавя и една динамична картинка направена с Java Sketchpad към горната задача: натисни тук

nikoleto · Пуснато на: Tue Jun 19, 2007 2:12 pm Заглавие:

Всъщност от доказното отгоре твърдение следва че отношението на обемите на пирамидата A'B'C'D' (с основа ▲А'B'C') и ABCD е равно на
(B'O/BO)*(A'O/AO)*(C'O/CO), което е много интересен факт и е възможно да намери и своето приложение в задачи в които имаме пресичане на прави по сходен начин в една точка !