Екстремална

[Methuselah]

Днес ми се падна на матура тази задача:
Дадени са параболите:
М: y=x-x²
N: y=2x-2x²
Дадена е и правата у=k ; k>1/4 , която пресича N в точки С и D.
Допирателната към M във върха й пресича N в точки A и В.
Намерете стойността на k за която АBCD има максимална площ.

ВНИМАНИЕ! СПОЙЛЕР: (маркирай надолу за да прочетеш отговора)
Отг: 17/36

[Реклама]

[Fed]

Хубава задача. Получих и скрития отговор.

[DevilFighter]

Аз също получих "спойлера". Бая зарибена задача. Най-важното нещо на тази задача е да не се бърза и да се чете условието много внимателно.

[Methuselah]

След като намерите корена на първата производна как доказвате че е максимум?
Пак скрито:
Аз смятам f''(17/36)<0 => максимум е.

[name01]

Офф аз зациклих на тая задача, ясно е че h=y, ама другата основа чрез y, нещо не мога да я вържа.
Ако y=x-x², на колко е равно b, т.е. отсечката която отсичат корените от графиката, абе зациклих си и тва е.

[Fed]

Скрито:
Като тебе: f''(17/36)<0=>max

[DevilFighter]

f'(x) > 0 при k E (1/4 ; 17/36)
f'(x) < 0 при k E (17/36 ; 1/2) => k=17/36 - лок.максимум (реших си неравенствата, а с 2-ра производна май става по-лесно)

[name01]

Аз спрях до тук.
Ако h на трапеца е = [tex]k-\frac{1}{4}[/tex], едната основа ни е const. тя не участва в уравнението, а другата основа е интервала, който отсичат 2-та корена или [tex]x_1 - x_2[/tex], които са пресечните точки на k с параболата [tex]2x-2x^2[/tex], оттам
[tex]2x-2x^2= k => 2x^2 - 2x +k =0[/tex]

[tex]x_1-x_2 = sqrt{(x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2} = sqrt{(1)^2-2k}= b[/tex]
Максимум ще имаме за [tex]b.h = max[/tex]

[tex]f_{(k)}=k-\frac{1}{4} . sqrt{(1)^2-2k}[/tex], та къде бъркам че не ми излиза отговора

Също така този начин ми се вижда леко хамалски, ама за друг не се сещам.

[Fed]

name01, може и аз да бъркам, но защо максимум ще имаме когато b.h=max
Фигурата ABCD е трапец и лицето е (a+b).h/2=a.h/2+b.h/2

[name01]

Е нали (а) ни е константа, а ако се бъркам тя е [tex]\frac{1}{sqrt{2}}[/tex], трябва ли да я има и нея?

[Fed]

Но ти имаш а.h/2+b.h/2. Ako беше а+b.h/2 щеше да е вярно.

[name01]

Е тая задача откровено ми е*а мамата:

[tex]S=\frac{1+sqrt{2-4k}}{sqrt{2}}.(\frac{k}{2}-\frac{1}{8})[/tex] = [tex]f_{k}[/tex] , [tex]f^'_{k}= 36k^2 + 4k - 7[/tex]

[tex]36k^2 + 4k - 7 = 0 [/tex] , има корени: [tex]x_1=\frac{14}{36}[/tex] и [tex]x_2=\frac{-17}{36[/tex]

много ми се иска да са с обратни знаци, ама явно съм изпушил вече, може ли някой да напише тая производна, да си видя грешката.

[DevilFighter]

Ето какви междинни отговори получавам :
AB = ( √(2) )/2 ; CD = √(1-2k) ; h_тр. = k - 1/4
S_тр. = (1/16)*(4k-1)*( √(2) + 2√(1-2k) )

[name01]

Оправих я, мерси.
И все пак си е тегава задачката

[Methuselah]

Ако някой иска да се забавлява ето и другите две задачи:
(от тези три да достатъчни да решим 2 за 6тица. Времето е 5 часа.)
Дадена е функцията [tex]\frac{4-x^3}{x^2}[/tex]
Да се изследва функцията и да се намери лицето на площта ограничена от графиката на функцията Ох и правата х=1/2.

Дадена е функцията [tex]\frac{sqrt{2x^2-1}}{x}[/tex]
Да се изследва функцията и да се намери обемът на тялото получено при ротация на графиката на фунцкията около Ох, ограничена с равнината х=2

На тия двете има интеграли.

[DevilFighter]

Как така интеграли ? Ние в 12 клас не учихме такива работи. Никога не съм работил с интеграли, даже незнам какво представлява?? С нормални знания могат ли да се решат. Все пак ще пробвам ....

[Fed]

интеграли

Въпреки интегралите ще потърся малко информация и ще опитам да реша някоя от задачките

[opalescence]

integralite e ne6to kato obratno na proizvodnata vij v tablicata kak se iz4islqva i si napravi edin opredelen (mislq 4e taka se kazva6e) integral za plo6tya mejdu krivata na funkciqta i ox

[Fed]

Прочетох доста за интегралите. То интересно било. Ще видим дали утре ще се справя с някоя от задачките, че в момента не ми се мисли.
opalescence, наистина се казва определен интеграл - за определяне лицето на всеки криволинеен трапец.

S(x)=^b_a∫f(x)dx

[Fed]

На първата задача с интегралите дето функцията е (4-x³)/x² за лицето получавам:

65/8 - ( 4^2/3 + 4^1/6 )

Толкова ли е отговора?

[Fed]

На втората задача за обема получавам:

V = ∏(9/2 - 2.√2)

[Methuselah]

толкоз са май. За обема - с едно ПИ отпред

[Fed]