Пепендикулярност на медиани в т-к

[mindcontroller]

Да се докаже, че медианите AA₁ и BB₂ в т-к ABC са взаимно перпендикулярни тогава и само тогава, когато a² + b ² = 5*c² (AB = c, BC=a, AC=b)

[Реклама]

[Fed]

Маркираш АА₁∩ВВ₁=М. Тогава АМВ=90°
Изразяваш медианите чрез страните.
(2/3*АА₁)²+(2/3*ВВ₁)=с²
Решаваш и трябва да се получи.

[Grands]

Както каза Fed, (2/3*АА₁)² + (2/3*ВВ₁)² = с²
4/9*AA₁² + 4/9*BB₁² = c²
4/9*(AA₁² + BB₁²) = c²

AA₁²=1/4*(2*c² + 2*b² - a²)
BB₁²=1/4*(2*c² + 2*a² - b²)

4/9*(1/4*(2*c² + 2*b² - a²) + 1/4*(2*c² + 2*a² - b²)) = c²
4/9*1/4*(2*c² + 2*b² - a² + 2*c² + 2*a² - b²) = c²
1/9*(4*c² + a² + b²) = c²
4*c² + a² + b² = 9*c²
a² + b² = 5*c²

Това беше едната посока, ето я и другата:

(2/3*АА₁)² + (2/3*ВВ₁)² =
=4/9*AA₁² + 4/9*BB₁² =
=4/9*(AA₁² + BB₁²) =
=4/9*(1/4*(2*c² + 2*b² - a²) + 1/4*(2*c² + 2*a² - b²)) =
=4/9*1/4*(2*c² + 2*b² - a² + 2*c² + 2*a² - b²) =
=1/9*(4*c² + a² + b²) =
=1/9*(4*c² + 5*c²) =
=1/9*9*c²=
=c²

[uktc]

Диагоналите на изпъкналия четириъгълник ABA₁B₁ са перпендикулярни тогава и само тогава, когато АB²+A₁B₁²=AB₁²+BA₁²

[xyz]

[uktc]

Е за какво да довършвам, някой ако не знае свойствата на средната отсечка в т-к, негов си е проблема