Логическа задача с жетони

[Fed]

На масата лежат 10 червени и 15 сини жетони. На всеки ход се разрешава всяка двойка жетони да се замени с един червен, ако тази двойка е едноцветна, и с един син жетон, ако двойката е разноцветна. Какъв жетон ще остане на масата след всеки 24-ти ход?

[Реклама]

[marto_mn]

Броят на сините жетони е винаги нечетен,защото броят на сините жетони или се запазва или намалява с 2 след 1 ход.
Но след 24 ход на масата ще остане 1 жетон,защото на всеки ход махаме по един жетон.Ако този жетон е червен,сините ще са нула на брой-четно число.Противоречие.
=> жетонът,който остава е син на цвят.

[Fed]

Точно така.

[Grands]

Само да питам, това се наричаше метод на инвариантата, нали?

[Fed]

Не знам как се казва този метод, но аз ще предложа решение чрез метода на моделиране. Този метод се заключава в следното: за решаването на дадена задача, тя се заменя с някаква друга (модел на дадената), решението на която дава възможност да се намери решение на изходната задача.

Червения жетон ще заменим с числото (+1), а синия - с числото (-1). Замяната на двойка жетони за един ход е намиране на произведението на съответните числа, заменени с жетони. Произведението на всичките 25 числа, съответстващи на 10 червени и 15 сини жетони, е равно на (-1), тъй като отрицателните единици в това произведение са нечетно число (15). Когато двойка числа от това произведение се заменят с число (+1), ако заменената двойка числа е с еднакъв знак (еднакви жетони) или (-1), ако заменената двойка е с различен знак (разноцветни жетони), то това не изменя знака на произведението. Затова след 24 такива хода остава 1 число (-1), което съответства на син жетон.

[xyz]

Имайки пред вид решението на Fed се вижда, че задачата може да се обобщи. Ще поместя едно обобщение, но превърнато в пулове, за да видим как ще се справите без моделиране.

Дадени са 5 жълти, 10 зелени и 14 сини жетона. Операциите по замяна на житоните са:
1. Всеки два разноцветни житона се заменят с един житон с третия цвят (например син и зелен се заменят с жълт).
2. Два жълти житона се заменят с един жълт.
3. Два сини се заменят с един зелен, а два зелени с един син.
Хайде, решавайте и тази модификация... Въпросът е същият: какъв пул ще остане накрая.

[Fed]

Предполагам, че на масата ще остане жълт жетон. Ще се опитам да докажа, че жълтите жетони не могат да свършат:

Единствения начин за намаляване на жълтите жетони е чрез замяна на 2 жълти с един жълт. Тогава няма как да се стигне до ситуация, в която на масата да няма жълт жетон, защото премахването на жълт жетон води до появата на нов жълт на масата.

[marto_mn]

Ето ви още една задача от този тип:
На един остров има 240 хамелеона- червени,сини и жълти.
Когато два хамелеона се срещнат, си сменят цветовете в третия цвят.
Ако един ден на острова е имало 100 червени,50 сини и 90 жълти хамелеона,може ли след известно време всички хамелеони да станат едноцветни?

[kivito]

Отговорът е не,а тази задача беше давана на Зимни математически празници миналата година.

[marto_mn]

[martosss]

може ли решението

[marto_mn]

Аз решението го имам, но не е ли по-справедливо форумците,които искат да я решат да не го гледат.
Като мине повече време,тогава

[kivito]

Прати му го на ЛС на човека,че на мен не ми се занимава,аз иначе можех да го напиша тук.

[xyz]

[Fed]

Прав си. Сега забелязах, че имам грешка в разсъжденията си от преди 2 седмици и нещо. С моделирането тука наистина може би ще стане бързо.