Как се решава с вектор?

[name01]

Задачате е да се намери cos-a м/у [tex]{AD}[/tex] & [tex]{BM}[/tex]

Дадено е, че всички страни са равностранни триъгълници, BM-височина
Не ми стана ясно от определнието за вектори, как да намерим cos, чрез скаларно произведение на [tex]MA^\rightarrow.MB^\rightarrow[/tex]

по дефиниция [tex]cos \angle{AMB}=\frac{[MA].MA^o.[MB].MB^o}{[MA].[MB]}=MA^o.MB^o[/tex] отговора е [tex]\frac{\sqrt{3}}{6}[/tex] и се стига с малко повече сметки, как със една сметка с вектори излиза отговора?

Аз векторите тотално съм ги отписал не ми се е налагало да решавам задачи с вектори, не съм ги и учил, но ми е интересно какво му е по-лесното на решението с вектори от това с косинусова Т или нещо друго?

Тук вече трябва да има малко повече смисъл в следната задача, понеже по-трудно се стига до косинусовата, има повечко сметки.



Условието е, че основата е квадрат и АC=VO=a, търси се cos м/у [tex]AV & BD_1[/tex], където [tex]DD_1 = D_1V[/tex]

[Реклама]

[name01]

Ако модератора чете, да знае че на LATEX-a не му бачкат таговете за вектори, поне при мен не бачкат.

[name01]

Объркал съм чертежа, скаларното произведение трябва да е не на МА и МВ а на МА и ектора с начало М и край средата на АС

[Fed]

На втората задача cos(<(AV,BD₁))=√(5/13). Толкова ли е?
Ако е толкова и ако искаш ще ти постна подробно решение с вектори.

[name01]

Искам именно за да видя, защо ни се разминават отговорите аз вместо [tex]\frac{5}{\sqrt{65}}[/tex] имам [tex]\frac{4}{\sqrt{65}}[/tex], сметките ми идват в повечко на тая задачка, затова ако има полза от векторите е точно за да се избегнат.

[Fed]

Избираме векторна база АB=a, AD=b, AV=c.

DV=-b+c
BD₁=BA+AD+DD₁=-a+b+1/2(c-b)=-a+b+c/2-b/2=-a+b/2+c/2

Намираме AD=√2а/2, AV=√5а/2, cosDAV=√10/10=cos(a,c)=cos(b,c), BD₁=√13a/4

(AV,BD₁)=(c, -a+b/2+c/2)=-ac+cb/2+c²/2=

=-√2a/2*√5a/2*√10/10+√2a/2*√5a/2*√10/10*1/2+5a²/8=a²/2

cos(AV,BD₁)=(AV,BD₁)/I AV I.I BD₁ I=

=( a²/2 )/(√5a/2*√13a/4)=4/√65

Стрелките на векторите не съм ги писал, но те се подразбират.

[Fed]

Ето и решение с векторна база на първата задача:

Избираме ВБ: AB=a, AC=b, AD=c;

Нека AD=a, BM=√3a/2

CD=c-b

BM=-a+b+1/2.CD=-a+b+1/2(c-b)=-a+b+c/2-b/2=-a+b/2+c/2

(AD, BM)=(c, -a+b/2+c/2)=-ac+bc/2+c²/2=-a.a.1/2+a.a.1/2.1/2+a²/2=a²/4

cos(AD, BM)=(a²/4)/(a.√3a/2)=√3/6

Стрелките на векторите не съм ги писал, но те се подразбират.

[name01]

Може и аз да се бъркам, но в реда:

[tex](AV.BD_1)=(c^\rightarrow.(-a^\rightarrow + \frac{b^\rightarrow}{2} + \frac{c^\rightarrow}{2}) = - \frac{a^2\sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{10}}{40}+\frac{a^2\sqrt{2}.\sqrt{5}.\sqrt{10}}{{40}}.\frac{1}{2}+\frac{5a^2}{8}=\frac{a^2}{2}[/tex], ти получаваш [tex]\frac{5a^2}{8}[/tex]

Виждам, че в твоите сметки си изпуснал тази двойка в знаменателя на второто, от която ти идва [tex]\frac{sqrt5}{sqrt13}[/tex], a не [tex]\frac{4}{sqrt65}[/tex]

[name01]

Мерси, проясни ми се малко картинката, не може да се каже че е много лесно, но пак спестява малко време тая векторна база.

[Fed]

[Fed]

[name01]

Като за сефте, на мен ми се вижда малко неинтуитивно, но щом казвате явно след 20-30 задачки ще ми се струва играчка тая векторна, база, аз изрових тия формули за скаларно произведение от една тухла за висша матеамтика първа част, ама така и тая дефиниция, от която косинуса м/у два вектора е произведението на единичните им вектори не ми се проясни чисто като обяснения.
От дефиниция за единичен вектор излиза че е равен на вектора умножен по λ, което пак нищо не ми говори.
Иначе с решенията на Fed ми стана ясно де, но все пак каква е тая дефиниция?