Странно нещо

[DevilFighter]

Даден е ▲ABC. т.Q Е AC, така че CQ : CA = 4:5. т.F E BC, така че CF:CB = 2:3. Медианата CM (т.M E AB) пресича правата QF в т.К. Да се намери отношението CK:KM.

Искам да попитам защо като решавам задачата по 2ва различни начина получавам 2 разл. отговора.
1начин: Построявам прави от т.A, М успоредни на QF и получавам CK:CM = 8:11 или CK:KM = 8:3

2начин: Решавам задачата с Векторна база и получавам CK:CM = 4:11 или CK:KM = 4:7
Избрал съм базисните вектори CA = a^-> ; CB = b^->
CM = (1/2)*(a^->+b^->)
QF = (2/3)b^-> - (4/5)a^->)

Съществува т. X Е CM такава че CX^-> = x*CM^-> = (x/2)*(a^->+b^->)

Съществува т. Y Е QF такава ,че QY^-> = y*QF^-> = y*[(2/3)b^-> - (4/5)a^->)]
CY^-> = CQ^-> + QY^-> = (4/5)*(1-y)*a^-> + (2/3)*y*b^->

CY = CX =>
|2y/3 = x/2
|4/5 - (4/5)*y = x/2 => y = 6/11 ; x = 8/11

[Реклама]

[Fed]

Аз пък получавам 4:9.

[DevilFighter]

Отговорът е 8:3 но се дразня защо с Векторна База не получавам същото. Искам някой да каже къде греша в тази ВБ, защото аз лично не виждам да съм сгрешил някъде. Вече 6ти път я решавам с ВБ и все това получавам....

[Fed]

Реших задачата и с векторна база и пак получавам 4:9...

CM=1/2(a+b)
QF=-a/5+2/3b

CX=x.1/2(a+b)=ax/2+bx/2
CQ=a/5
QY=y.(2/3b-a/5)
CY=a/5+y.2/3b-ay/5=a(1/5-y/5)+2/3yb

x/2=1/5-y/5
x/2=2/3y

=>1/5-y/5=2/3y => y=3/13 => x=4/13 => CK:KM=4:9

Може и да бъркам някъде, но 4:9 си получавам и по двата начина.

[name01]

Каква е тая векторна база дето толко сте се зарибили по нея, доколкото знам векторите вече никъде не ги дават по изпити?

[Fed]

[M_Velinova]

По първия начин:

[uktc]

Реших я и аз без ВБ по малко по-друг начин и отговорът пак е 4/9.

[DevilFighter]

Момчета съжалявам много, че така ви подведох. Беше допусната грешка в условието. Отношението е CQ:CA = 4:5. Оправих грешката... ц ц ц . Сега ако не сте ми много ядосани вижте ВБ-то що така ми се получава ...

П.П. Открих защо ми се разминава отговора.....Да ги е** в скапаните учебници, само лъжат хората

[xyz]

Вместо векторна база може да се използва и метода с маси. Всичко направено с "маси" може да се докаже и с вектори, но с маси е и по-компактно. Сега ще го обясня метода, като пример ще е тази задача.

Идеята е, да се поставят такива тегла във върховете на триътълника, че центъра на тежестта да е в точката K. Ако вземем само 2 тегла, то само техния център на тежестта е свързващата ги отсечката, в съотношение, отговарящо на принципа на лоста: Теглото * принадлежащото рамо = Другото теглото * другото рамо. Замисълът е, че ако две тегла ги замените с техния център на тежестта - като в него сложите сумарното тегло - то новата система от тегла ще има същия цялосттен център на тежестта. Няма принципен проблем, че в C сложижме две отделни тегла.

Първата ни задача е, центърът на тежестта да се намира на правата QF. Затова в A слагаме тегло 4, а в C тегло 1 - те се оравновесяват в Q. Освен това слагаме тегло 2 в точка B и тегло 1 в точка C, с което се оравновесяват в точка F. Повече тегла не слагаме, а съгласно по-горе споменатото центърът на тежестта на системата е същия, като центърът на тежестта на двете точки Q и F притежаващи съответно тегла 5 и 3. Така центърът на тежестта е на отсечката QF.
Да изчислим центъра на тежестта по друг начин. Тъй като в A и B има различни тегла, то те няма да се оравновесят в M. За да оправим това, то в по-горната стъпка:
слагаме тегло 2 в точка B и тегло 1 в точка C
правим корекцията: "слагаме тегло 4 в точка B и тегло 2 в точка C". Може да проверите, че горните разсъждения оставят вярни. Сега вече центърът на тежестта само на върховете A и B ще стане в точка M. Следователно центърът на тежестта на цялата система ще е на отсечката CM.
Използвайки и по-горното виждаме, че при описаното натоварване центърът на тежестта е точно K. Този център на тежастта представлява и център на системата: "Точка M с тело: Теглото на A + Теглото на B=8" и "Точка C със сумарното си тегло=3". Тъй като K център на тежестта на тази система, то получаваме:

Отговор: 8:3