h и r

[uktc]

Нелоша задачка:
Височините на триъгълник са h_a, h_b и h_c. Намерете радиуса на вписаната в триъгълника окръжност.

[Реклама]

[Fed]

Отговора толкова ли е:

[uktc]

Толкова

[lpishinov]

Накой би ли написал решението

[name01]

Ако не ти се пише подробно, нещо то сорта на:
Подобния който се образува от петите на височините, да му намерим радиуса и от там отношението към радиуса на ABC като подобни?
За друго не се сещам.

[Fed]

[name01]

Е къде в условието е казано че O=M ? Иначе теоремата е силна.

[Fed]

М е произволна точка от вътрешността на ABC. В нашия случай тази произволна точка ще бъде центъра на вписаната окръжност. Разстоянието от центъра на вписаната окръжност до всички страни е r. T. е. в нашия случай М е равноотдалечена от всички страни.

[DevilFighter]

Тази теорема за първи път я виждам... Голяма теорема обаче...
Задачата може да се реши и като се намерят отношенията :

r/h_a = (a)/(a+b+c) ; r/h_b = (b)/(a+b+c) ; r/h_c = (c)/(a+b+c) и нататък е ясно...

[uktc]

(a+b+c)/2=p
a/2+b/2+c/2=p |*1/S
1/h_a+1/h_b+1/h_c=1/r => r=1/[1/h_a+1/h_b+1/h_c]