Държавна политехника- 1955г.

[uktc]

Дадена е окръжност с дължина на радиуса R и точка A извън нея. През т.А са прекарани допирателна t и секуща s на окръжността, които сключват ъгъл с големина α помежду си. B, C и D са съответно допирната точка и пресечните точки на s с окръжността, като D е по-близо до A. Да се намери отношението на лицата на триъгълниците ABC и BCD, като се знае, че разстоянието от центъра на окръжността до секущата е d.

[Реклама]

[Fed]

Почти съм сигурен, че отговора не е толкова, на аз да си питам все пак...

[uktc]

Отговорът няма значение.
Би ли си казал идеята?

[Fed]

Доказвам, че ▲ABC ~ ▲ABD (лесно се доказва по 2 ъгъла - общ и <CBA=<ADB). Тогава имаме S_ABC/S_BCD=S_ABC/(S_ABC-S_ABD)=1/(S_ABC-S_ABD)/S_ABC
=1/(1-S_ABD/S_ABC)
ОH=d, O-ц-р на окр., H - ср. на CD;
HABO може да се впише в окръжност, <HOB=180-α;
Oт HABO намираме лесно АО. Оттам намираме АВ и AH. Oттам АС. Прилагаме подобието S_ABD/S_ABC=АВ²/АС².

Toва е случая когато секущата и допирателната са от различни полуравнини спрямо центъра. Предполагам в другия случай се разсъждава аналогично.

Сметките са много, така че трябва много да се внимава.

[Nona]

А от къде я намери тази задача?

[uktc]

10x за подробното решение, Magi.
Задачата я намерих в някакъв сборник, хванал прахоляк на тавана

[DevilFighter]

Ще използвам чертежа на Magi.

CD = 2√(R²-d²)
AB² = AD*AC = (AC-CD)*AC = AC²-CD*AC

Около чет. ABOH може да се опише к (<H = <OBA= 90°) => <OAB = <OHB = OB/2(дъга) = β
<OBH = 180°-(α+β) => d/sin(α+β) = R/sinβ =>
sin²β = (R*sinα)² / (R² + d² -2Rdcosα) => tgβ = (R*sinα)/(Rcosα-d)

▲OAB : tgβ = R/AB => AB = R/tgβ = (Rcosα-d)/sinα

От AB² = AD*AC = (AC-CD)*AC = AC²-CD*AC =>
AC = (1/2)*[CD + √(CD²+4AB²) ]

S_ABC/S_BCD = AC /CD = [ 1/(2CD) ]*[CD + √(CD²+4AB²) ]

CD²+4AB² = 4*|R -dcosα|²/sin²α

S_ABC/S_BCD = AC / CD = 1 + (|R-dcosα|)/( sinα*√(R²-d²) )

А мисля, че има и 2 случай-когато т.О не лежи във вътрешността на ъгъл α.

[Nona]