Пирамида и сфера

[Fed]

За триъгълната пирамида SABC са известни равнинните ъгли <BSC=90° и <ASB=<ASC=60°. Върховете A, S и средите на ръбовете SB, SC, AB и AC лежат върху една сфера с радиус 3.

а) Да се докаже, че SA е диаметър на сферата.
б) Да се намери обемът на пирамидата.

[Реклама]

[uktc]

Добра задача, дано да е правилно решението ми.
Нека средите на ръбовете SB, SC, AC, AB и АS са съответно M, N, P, Q и Z.
Ако докажем, че Z е равноотдалечена от М,N,P,Q,A и S, то a) ще бъде решена.
По условие, около трапеците SNPA и SMQA са описани около окръжности, значи те са равнобедрени. Значи и околните страни BSA и SCA са равнобедрени триъгълници с основа AS. От ъглите по 60* следва, че последните 2 триъгълника са и равностранни. От общата AS следва, че са и еднакви. Ами сега като използваме свойството на средната отсечка в триъгълник, действително установяваме, че ZM=ZQ=ZA=ZS=ZP=ZN, значи Z е центъра на въпросната сфера, откъдето AS-диаметър.
За б):
Разглеждаме BCS като основа. Сега околните ръбове са равни, значи А се проектира в/у основата в центъра T на хипотенузата BC, т.е. AT е височина на пирамидата.
BC=3√2, ST=3√2/2, по питагорова от ATS намираме AT=3√2/2 и V=1/3*1/2*BS*CS*AT=9√2/4.

[Fed]

Да, всичко трябва да е вярно. Аз бях забравил да използвам това за трапците... Благодаря ти за решението.

[uktc]

Да отбележим, че при така зададеното условие, получаваме и <BAC=90*, защото за тр. BCA е изпълнена Питагоровата теорема.

П.П. Пише се трапЕци, и на мен ми беше много странно като разбрах

[Fed]