Задача

[Infernum]

Ако f(x) е непрекъсната функция в интервала [a, b], не тъждествено равна на нула и

∫_a..bf(x)dx = 0,

докажете, че уравнението f(x) = 0 има реални корени в интервала (a, b).

[Реклама]

[xyz]

Непосредствено от една от дефиницията на интеграл (т.е. не тази на Лайбниц-Нютор и не тази на Лебег), следва че ако f(x)>0 или f(x)<0, то същото ще е изпълнено и за интеграла. Следователно съществуват x₀ и x₁ от интервала, такива че f(x₀)<0 и f(x₁)>0. Функцията е непрекъсната, следователно в интервала [x₀,x₁] притежава реален корен.