Задача

[Infernum]

Докажете, че уравнението

2x/(1+x⁴) + cos x = π/4 + sin 1

има решение в интервала (0, 1).

[Реклама]

[Lubo]

Едно просто, но не оригинално решение...

Функцията f(x) = 2x/(1+x4) + cos x - π/4 - sin 1
е непрекъсната.

f(0.5) = 0.19 > 0
f(0.99) = -0.07 <0

=> има такова x,
0.5 ≤ x ≤ 0.99, за което f(x) = 0

f(0.5) = 0.19 > 0
f(0.3) = -0.08 <0

=> има поне още ендо такова x,
0.3 ≤ x ≤ 0.5, за което f(x) = 0

т.е. уравнението 2x/(1+x4) + cos x = π/4 + sin 1
има поне две решения в интервала (0, 1).

Ако се изследва фунцията по-подробно се вижда, че тя е
растяща в интервала 0.4 ≤ x ≤ 0.99 и
намаляваща в интервала 0.8 ≤ x ≤ 0.99,
т.е решенията са точно две в интервала (0, 1).

Може и графиката да се начертае за онагледяване.

Любо

[r2d2]

Infernum, константите много улесняват нещата
Ето една подобна, но много по-гадна задача.
Докажете, че уравнението 10аx^4-4ax^3+a^2*x^2+6x-2=0 има поне един корен в интервала (0;1].

[Infernum]

Много ми е интересно как ще решите горната задача с константите, без калкулатор или компютър.

[Infernum]

[r2d2]

Малее, срам!
Ето и решението на оригиналната задача, убеден съм, че и тази може да се направи такава, но няма да бързам.